Lem, Tokarczuk, Krakow, கணிதம்
செப்டம்பர் 3-7, 2019 அன்று, போலந்து கணித சங்கத்தின் ஆண்டு மாநாடு கிராகோவில் நடந்தது. ஆண்டுவிழா, ஏனென்றால் சங்கம் நிறுவப்பட்டதன் நூற்றாண்டு. இது கலீசியாவில் 1 ஆம் ஆண்டு முதல் இருந்தது (எப்ஜே1919 பேரரசரின் போலந்து-தாராளமயம் அதன் வரம்புகளைக் கொண்டிருந்தது என்ற பெயரடை இல்லாமல்), ஆனால் நாடு தழுவிய அமைப்பாக அது 1919 முதல் மட்டுமே இயங்கியது. போலந்து கணிதத்தில் முக்கிய முன்னேற்றங்கள் 1939 களில் XNUMX-XNUMX வரை உள்ளன. எல்விவில் உள்ள ஜான் காசிமிர் பல்கலைக்கழகத்தில் XNUMX, ஆனால் மாநாடு அங்கு நடைபெறவில்லை - அது சிறந்த யோசனையும் அல்ல.
கூட்டம் மிகவும் பண்டிகையாக இருந்தது, அதனுடன் கூடிய நிகழ்வுகள் நிறைந்தது (நைபோலோமிஸில் உள்ள கோட்டையில் ஜசெக் வோஜ்சிக்கியின் நிகழ்ச்சி உட்பட). முக்கிய சொற்பொழிவுகளை 28 பேச்சாளர்கள் வழங்கினர். அவர்கள் போலந்து மொழியில் இருந்தனர், ஏனெனில் அழைக்கப்பட்ட விருந்தினர்கள் போலந்துகள் - குடியுரிமை என்ற அர்த்தத்தில் அவசியமில்லை, ஆனால் தங்களை போலந்துகளாக அங்கீகரித்தனர். ஆமாம், பதின்மூன்று விரிவுரையாளர்கள் மட்டுமே போலந்து அறிவியல் நிறுவனங்களிலிருந்து வந்தனர், மீதமுள்ள பதினைந்து பேர் அமெரிக்கா (7), பிரான்ஸ் (4), இங்கிலாந்து (2), ஜெர்மனி (1) மற்றும் கனடா (1) ஆகிய நாடுகளில் இருந்து வந்தவர்கள். சரி, இது கால்பந்து லீக்குகளில் நன்கு அறியப்பட்ட நிகழ்வு.
வெளிநாட்டில் தொடர்ந்து சிறப்பாக செயல்படுகிறார்கள். இது கொஞ்சம் வருத்தமாக இருக்கிறது, ஆனால் சுதந்திரம் சுதந்திரம். பல போலந்து கணிதவியலாளர்கள் போலந்தில் அடைய முடியாத வெளிநாட்டு வேலைகளை செய்துள்ளனர். பணம் இங்கு இரண்டாம் பாத்திரத்தை வகிக்கிறது, ஆனால் இதுபோன்ற தலைப்புகளில் நான் எழுத விரும்பவில்லை. இரண்டு கருத்துகள் இருக்கலாம்.
ரஷ்யாவில், அதற்கு முன்னர் சோவியத் யூனியனில், இது மிகவும் நனவான மட்டத்தில் இருந்தது மற்றும் உள்ளது ... எப்படியாவது யாரும் அங்கு குடியேற விரும்பவில்லை. இதையொட்டி, ஜெர்மனியில், எந்தவொரு பல்கலைக்கழகத்திலும் பேராசிரியர் பதவிக்கு சுமார் ஒரு டஜன் வேட்பாளர்கள் விண்ணப்பிக்கிறார்கள் (கான்ஸ்டான்ஸ் பல்கலைக்கழகத்தின் சக ஊழியர்கள், ஒரு வருடத்தில் 120 விண்ணப்பங்கள் கிடைத்ததாகக் கூறினர், அவற்றில் 50 மிகச் சிறந்தவை, 20 சிறந்தவை).
ஜூபிலி காங்கிரஸ் விரிவுரைகளில் சிலவற்றை எங்கள் மாத இதழில் சுருக்கமாகக் கூறலாம். "குறைந்த வரைபடங்கள் மற்றும் அவற்றின் பயன்பாடுகளின் வரம்புகள்" அல்லது "உயர்-பரிமாண இயல்பான இடைவெளிகளுக்கான துணைவெளிகள் மற்றும் காரணி இடைவெளிகளின் நேரியல் அமைப்பு மற்றும் வடிவியல்" போன்ற தலைப்புகள் சராசரி வாசகருக்கு எதையும் சொல்லாது. இரண்டாவது தலைப்பு முதல் பாடங்களில் இருந்து எனது நண்பரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, நிக்கோல் டாம்சாக்.
சில ஆண்டுகளுக்கு முன்பு, இந்த விரிவுரையில் வழங்கப்பட்ட சாதனைக்காக அவர் பரிந்துரைக்கப்பட்டார். ஃபீல்ட்ஸ் மெடல் கணிதவியலாளர்களுக்கு சமமானதாகும். இதுவரை ஒரே ஒரு பெண் மட்டுமே இந்த விருதைப் பெற்றுள்ளார். விரிவுரை என்பதும் குறிப்பிடத்தக்கது அன்னா மார்சினியாக்-சோக்ரா (ஹைடெல்பெர்க் பல்கலைக்கழகம்) "லுகேமியா மாதிரியாக்கத்தின் உதாரணத்தில் மருத்துவத்தில் இயந்திரவியல் கணித மாதிரிகளின் பங்கு".
மருத்துவத்தில் நுழைந்தார். வார்சா பல்கலைக்கழகத்தில், பேராசிரியர் தலைமையிலான குழு. ஜெர்சி டியூரின்.
விரிவுரையின் தலைப்பு வாசகர்களுக்குப் புரியாது வெஸ்லாவா நிஜியோல் (z prestiżowej உயர் கல்வியியல் பள்ளி) "-ஆடிக் ஹாட்ஜ் கோட்பாடு". ஆயினும்கூட, இந்த விரிவுரையை நான் இங்கு விவாதிக்க முடிவு செய்துள்ளேன்.
வடிவியல் -ஆடிக் உலகங்கள்
இது எளிய சிறிய விஷயங்களில் தொடங்குகிறது. வாசகரே, எழுத்துப் பரிமாற்ற முறை உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா? கண்டிப்பாக. ஆரம்ப பள்ளியின் கவலையற்ற ஆண்டுகளை நினைத்துப் பாருங்கள். 125051 ஐ 23 ஆல் வகுக்கவும் (இது இடதுபுறத்தில் உள்ள செயல்). இது வேறுபட்டதாக இருக்கலாம் (வலதுபுறம் செயல்) என்பது உங்களுக்குத் தெரியுமா?
இந்த புதிய முறை சுவாரஸ்யமானது. நான் முடிவில் இருந்து செல்கிறேன். நாம் 125051 ஐ 23 ஆல் வகுக்க வேண்டும். கடைசி இலக்கம் 23 ஆக இருக்க 1 ஐ எதில் பெருக்க வேண்டும்? நினைவகத்தில் தேடுகிறோம்:=7. முடிவின் கடைசி இலக்கம் 7. பெருக்கவும், கழிக்கவும், நமக்கு 489 கிடைக்கும். 23 உடன் முடிவதற்கு 9 ஐ எவ்வாறு பெருக்குவது? நிச்சயமாக, 3 ஆல். முடிவின் அனைத்து எண்களையும் நாம் தீர்மானிக்கும் இடத்திற்கு வருகிறோம். எங்கள் வழக்கமான முறையை விட இது நடைமுறைக்கு மாறானது மற்றும் கடினமானது என்று நாங்கள் கருதுகிறோம் - ஆனால் இது நடைமுறையில் ஒரு விஷயம்!
துணிச்சலான மனிதன் வகுப்பான் மூலம் முழுமையாகப் பிரிக்கப்படாதபோது விஷயங்கள் வேறு திருப்பத்தை எடுக்கும். பிரிவு செய்து என்ன நடக்கிறது என்று பார்ப்போம்.
இடதுபுறத்தில் ஒரு பொதுவான பள்ளி பாதை உள்ளது. வலதுபுறத்தில் "எங்கள் விசித்திரமானவை".
இரண்டு முடிவுகளையும் பெருக்குவதன் மூலம் சரிபார்க்கலாம். முதலில் நாம் புரிந்துகொள்கிறோம்: 4675 என்ற எண்ணில் மூன்றில் ஒரு பங்கு ஆயிரத்து ஐந்நூற்று ஐம்பத்தி எட்டு, மற்றும் காலத்தில் மூன்று. இரண்டாவதாக அர்த்தமில்லை: இந்த எண்ணுக்கு முன்னால் எண்ணற்ற சிக்ஸர்களும் பின்னர் 8225ம் இருக்கும்?
அர்த்தத்தின் கேள்வியை ஒரு கணம் விட்டுவிடுவோம். விளையாடுவோம். எனவே 1 ஐ 3 ஆல் வகுப்போம், பின்னர் 1 ஆல் 7 மூன்றில் ஒரு பகுதி மற்றும் ஏழில் ஒரு பங்கு. நாம் எளிதாகப் பெறலாம்:
1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.
இந்த கடைசி வரியின் அர்த்தம்: பிளாக் 285714 தொடக்கத்தில் காலவரையின்றி மீண்டும் நிகழ்கிறது, இறுதியாக அவற்றில் மூன்று உள்ளன. நம்பாதவர்களுக்கு, இங்கே ஒரு சோதனை:
இப்போது பின்னங்களைச் சேர்ப்போம்:
பின்னர் நாம் பெறப்பட்ட விசித்திரமான எண்களைச் சேர்க்கிறோம், அதே விசித்திரமான எண்ணைப் பெறுகிறோம் (சரிபார்க்கவும்).
......95238095238095238095238010
இது சமம் என்பதை நாம் சரிபார்க்கலாம்
சாராம்சம் இன்னும் பார்க்கப்படவில்லை, ஆனால் எண்கணிதம் சரியானது.
இன்னும் ஒரு உதாரணம்.
வழக்கமான, பெரியதாக இருந்தாலும், எண் 40081787109376 ஒரு சுவாரஸ்யமான சொத்து உள்ளது: அதன் சதுரம் 40081787109376 இல் முடிவடைகிறது. எண் x40081787109376, இது (x40081787109376)2 x40081787109376 இல் முடிவடைகிறது.
உதவிக்குறிப்பு. எங்களிடம் 40081787109376 உள்ளது2= 16065496340081787109376, எனவே அடுத்த இலக்கமானது மூன்று முதல் பத்தின் நிரப்பு, அதாவது 7. சரிபார்ப்போம்: 7400817871093762= 5477210516110077400817 87109376.
இது ஏன் என்ற கேள்வி கடினமான ஒன்று. இது எளிதானது: 5 இல் முடிவடையும் எண்களுக்கு ஒரே மாதிரியான முடிவுகளைக் கண்டறியவும். அடுத்த இலக்கங்களை காலவரையின்றி கண்டுபிடிக்கும் செயல்முறையைத் தொடர்ந்து, அத்தகைய "எண்களுக்கு" வருவோம். 2=2= (இந்த எண்கள் எதுவும் பூஜ்ஜியம் அல்லது ஒன்றுக்கு சமமாக இல்லை).
நாங்கள் நன்றாக புரிந்துகொள்கிறோம். தசம புள்ளிக்குப் பிறகு எவ்வளவு தூரம் இருக்கிறதோ, அந்த எண்ணிக்கையின் முக்கியத்துவம் குறைவாக இருக்கும். பொறியியல் கணக்கீடுகளில், தசம புள்ளிக்குப் பிறகு முதல் இலக்கம் முக்கியமானது, அதே போல் இரண்டாவது, ஆனால் பல சந்தர்ப்பங்களில் ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவு அதன் விட்டம் விகிதம் 3,14 என்று கருதலாம். நிச்சயமாக, விமானத் துறையில் இன்னும் அதிகமான எண்கள் சேர்க்கப்பட வேண்டும், ஆனால் பத்துக்கு மேல் இருக்கும் என்று நான் நினைக்கவில்லை.
கட்டுரையின் தலைப்பில் பெயர் வந்தது ஸ்டானிஸ்லாவ் லெம் (1921-2006), அத்துடன் நமது புதிய நோபல் பரிசு பெற்றவர். பெண் ஓல்கா டோகார்ச்சுக் ஏனெனில் இதை மட்டும் குறிப்பிட்டேன் அநியாயம் என்று அலறல்ஸ்டானிஸ்லாவ் லெம் இலக்கியத்திற்கான நோபல் பரிசைப் பெறவில்லை என்பதுதான் உண்மை. ஆனால் அது எங்கள் மூலையில் இல்லை.
லெம் அடிக்கடி எதிர்காலத்தை முன்னறிவித்தார். அவர்கள் மனிதர்களிடமிருந்து சுதந்திரமாக மாறும்போது என்ன நடக்கும் என்று அவர் ஆச்சரியப்பட்டார். இந்த தலைப்பில் எத்தனை படங்கள் சமீபத்தில் வெளிவந்துள்ளன! லெம் மிகவும் துல்லியமாக கணித்து ஆப்டிகல் ரீடர் மற்றும் எதிர்கால மருந்தியல் பற்றி விவரித்தார்.
அவர் கணிதத்தை அறிந்திருந்தார், சில சமயங்களில் அவர் அதை ஒரு ஆபரணமாகக் கருதினார், கணக்கீடுகளின் சரியான தன்மையைப் பற்றி கவலைப்படவில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, "சோதனை" கதையில், பிர்க்ஸ் பைலட் 68 மணி 4 நிமிடங்கள் சுழற்சி காலத்துடன் B29 சுற்றுப்பாதையில் செல்கிறார், மேலும் அறிவுறுத்தல் 4 மணி 26 நிமிடங்கள் ஆகும். அவர்கள் 0,3 சதவீத பிழையுடன் கணக்கிட்டதை அவர் நினைவு கூர்ந்தார். அவர் கால்குலேட்டரிடம் டேட்டாவைக் கொடுக்கிறார், கால்குலேட்டர் எல்லாம் நன்றாக இருக்கிறது என்று பதிலளித்தார் ... சரி, இல்லை. 266 நிமிடங்களில் மூன்று பத்தில் ஒரு சதவிகிதம் ஒரு நிமிடத்திற்கும் குறைவானது. ஆனால் இந்த பிழை ஏதாவது மாறுமா? ஒருவேளை அது வேண்டுமென்றே செய்யப்பட்டதா?
இதைப் பற்றி நான் ஏன் எழுதுகிறேன்? பல கணிதவியலாளர்களும் இந்தக் கேள்வியை எழுப்பியுள்ளனர்: ஒரு சமூகத்தை கற்பனை செய்து பாருங்கள். நமது மனித மனம் அவர்களிடம் இல்லை. எங்களைப் பொறுத்தவரை, 1609,12134 மற்றும் 1609,23245 ஆகியவை மிக நெருக்கமான எண்கள் - ஆங்கில மைலுக்கு நல்ல தோராயங்கள். இருப்பினும், கணினிகள் 468146123456123456 மற்றும் 9999999123456123456 ஆகிய எண்களைக் கருத்தில் கொள்ளலாம். அவை ஒரே பன்னிரண்டு இலக்க முடிவுகளைக் கொண்டுள்ளன.
முடிவில் மிகவும் பொதுவான இலக்கங்கள், எண்கள் நெருக்கமாக இருக்கும். இது தூரம் என்று அழைக்கப்படுவதற்கு வழிவகுக்கிறது -ஆடிக். p ஒரு கணம் 10க்கு சமமாக இருக்கட்டும்; ஏன் "சிறிது நேரம்", நான் விளக்குகிறேன் ... இப்போது. மேலே எழுதப்பட்ட எண்களின் 10 புள்ளி தூரம்
அல்லது ஒரு மில்லியனில் - ஏனெனில் இந்த எண்கள் முடிவில் ஆறு பொதுவான இலக்கங்களைக் கொண்டுள்ளன. அனைத்து முழு எண்களும் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து ஒன்று அல்லது குறைவாக வேறுபடுகின்றன. நான் ஒரு டெம்ப்ளேட் கூட எழுத மாட்டேன், ஏனென்றால் அது முக்கியமில்லை. முடிவில் ஒரே மாதிரியான எண்கள், நெருக்கமான எண்கள் (ஒரு நபருக்கு, மாறாக, ஆரம்ப எண்கள் கருதப்படுகின்றன). p ஒரு பிரதான எண்ணாக இருப்பது முக்கியம்.
பின்னர் - அவர்கள் பூஜ்ஜியங்கள் மற்றும் ஒன்றை விரும்புகிறார்கள், எனவே அவர்கள் இந்த வடிவங்களில் அனைத்தையும் பார்க்கிறார்கள்: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.
க்ளோஸ் பனா நாவலில், ஸ்டானிஸ்லாவ் லெம் விஞ்ஞானிகளை நியமித்து, மறுமையில் இருந்து அனுப்பப்பட்ட செய்தியைப் படிக்க முயற்சிக்கிறார், நிச்சயமாக பூஜ்ஜியம்-ஒன் குறியீடு. யாராவது எங்களுக்கு எழுதுகிறார்களா? லெம் வாதிடுகிறார், "யாராவது நமக்கு ஏதாவது சொல்ல விரும்பிய செய்தியாக இருந்தால், எந்த செய்தியையும் படிக்க முடியும்." ஆனால் அது? இந்த இக்கட்டான நிலையை வாசகர்களுக்கு விட்டுவிடுகிறேன்.
நாங்கள் XNUMXD இடத்தில் வாழ்கிறோம் R3. கடிதம் R அச்சுகள் உண்மையான எண்கள், அதாவது முழு எண்கள், எதிர்மறை மற்றும் நேர்மறை, பூஜ்ஜியம், பகுத்தறிவு (அதாவது பின்னங்கள்) மற்றும் பகுத்தறிவற்றவை, பள்ளியில் படித்தவர்கள் (), மற்றும் இயற்கணிதத்தில் அணுக முடியாத ஆழ்நிலை எண்கள் எனப்படும் எண்கள் (இது எண் π ஆகும். , இது இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளுக்கும் மேலாக ஒரு வட்டத்தின் விட்டத்தை அதன் சுற்றளவுடன் இணைக்கிறது).
நமது இடத்தின் அச்சுகள் -ஆடிக் எண்களாக இருந்தால் என்ன செய்வது?
ஜெர்சி மியோடுசோவ்ஸ்கி, சிலேசியா பல்கலைக்கழகத்தின் கணிதவியலாளர், இது அவ்வாறு இருக்கக்கூடும் என்றும், அதுவும் கூட இருக்கலாம் என்றும் வாதிடுகிறார். நாம் (ஜெர்சி மியோடுஸ்ஸோவ்ஸ்கி கூறுகிறார்) அத்தகைய உயிரினங்களுடன், தலையிடாமல், ஒருவரையொருவர் பார்க்காமல் விண்வெளியில் ஒரே இடத்தைப் பிடிக்க முடியும்.
எனவே, ஆராய்வதற்கு "அவர்களின்" உலகின் அனைத்து வடிவவியலும் எங்களிடம் உள்ளன. "அவர்கள்" நம்மைப் பற்றி அதே வழியில் நினைக்கிறார்கள் மற்றும் நமது வடிவவியலைப் படிப்பது சாத்தியமில்லை, ஏனென்றால் நம்முடையது எல்லா "அவர்களின்" உலகங்களின் எல்லைக்குட்பட்ட வழக்கு. "அவர்கள்", அதாவது, அனைத்து நரக உலகங்களும், அவை முதன்மை எண்களாக இருக்கும். குறிப்பாக, = 2 மற்றும் பூஜ்ஜியத்தின் இந்த கண்கவர் உலகம் ...
இங்கே கட்டுரையைப் படிப்பவர் கோபமாகவும் கோபமாகவும் கூட இருக்கலாம். "கணித வல்லுநர்கள் செய்யும் முட்டாள்தனமா இது?" என் (=வரி செலுத்துபவரின்) பணத்தில் இரவு உணவிற்குப் பிறகு வோட்கா குடிப்பது பற்றி அவர்கள் கற்பனை செய்கிறார்கள். மேலும் அவர்களை நான்கு காற்றுகளாக சிதறடித்து, அவர்கள் மாநில பண்ணைகளுக்கு செல்லட்டும் ... ஓ, இனி மாநில பண்ணைகள் இல்லை!
ஓய்வெடுக்கவும். அவர்கள் எப்போதும் இதுபோன்ற நகைச்சுவைகளில் நாட்டம் கொண்டிருந்தனர். சாண்ட்விச் தேற்றத்தை மட்டும் குறிப்பிடுகிறேன்: என்னிடம் சீஸ் மற்றும் ஹாம் சாண்ட்விச் இருந்தால், பன், ஹாம் மற்றும் சீஸ் ஆகியவற்றைப் பாதியாகக் குறைக்க அதை ஒரே கட் செய்து கொள்ளலாம். இது நடைமுறையில் பயனற்றது. இது செயல்பாட்டு பகுப்பாய்விலிருந்து ஒரு சுவாரஸ்யமான பொது தேற்றத்தின் விளையாட்டுத்தனமான பயன்பாடாகும்.
-ஆடிக் எண்கள் மற்றும் தொடர்புடைய வடிவவியலைக் கையாள்வது எவ்வளவு தீவிரமானது? பகுத்தறிவு எண்கள் (எளிமையாக: பின்னங்கள்) வரியில் அடர்த்தியாக உள்ளன, ஆனால் அதை நெருக்கமாக நிரப்ப வேண்டாம் என்பதை வாசகருக்கு நினைவூட்டுகிறேன்.
விகிதாசார எண்கள் "துளைகளில்" வாழ்கின்றன. அவற்றில் பல உள்ளன, எண்ணற்றவை, ஆனால் அவற்றின் முடிவிலி எளிமையானவற்றை விட பெரியது என்றும் நீங்கள் கூறலாம், அதில் நாம் எண்ணுகிறோம்: ஒன்று, இரண்டு, மூன்று, நான்கு ... மற்றும் பல ∞ வரை. இது நமது மனித "துளைகளை" நிரப்புவதாகும். இந்த மன அமைப்பை நாம் மரபுரிமையாகப் பெற்றுள்ளோம் பித்தகோரியன்ஸ்.
ஆனால் ஒரு கணிதவியலாளருக்கு சுவாரஸ்யமான மற்றும் முக்கியமான விஷயம் என்னவென்றால், இந்த துளைகளை பகுத்தறிவற்ற மற்றும் p-ஆடிக் எண்களால் "நிரப்ப" முடியாது (அனைத்து பகா எண்களுக்கும் p). இதைப் புரிந்துகொள்ளும் வாசகர்களுக்கு (இது முப்பது ஆண்டுகளுக்கு முன்பு ஒவ்வொரு உயர்நிலைப் பள்ளியிலும் கற்பிக்கப்பட்டது), ஒவ்வொரு வரிசையும் திருப்தி அளிக்கிறது. கௌச்சியின் நிலை, ஒன்றிணைகிறது.
இது உண்மையாக இருக்கும் இடம் முழுமையானது ("எதுவும் காணவில்லை") என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனக்கு 547721051611007740081787109376 என்ற எண் நினைவிருக்கும்.
வரிசை 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 மற்றும் பல ஒரு குறிப்பிட்ட வரம்பில் ஒன்றிணைகிறது, இது தோராயமாக 0,5477210516110077400 81787109376 ஆகும்.
இருப்பினும், 10-ஆடிக் தூரத்தின் பார்வையில், எண்களின் வரிசை 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 மற்றும் பல "விசித்திரமான" எண்ணுடன் கூடுகிறது ... 547721051 611007740081787109376.
ஆனால் அதுவும் விஞ்ஞானிகளுக்கு பொதுப் பணத்தை வழங்க போதுமான காரணம் இல்லை. பொதுவாக, நாம் (கணித வல்லுநர்கள்) நமது ஆராய்ச்சி எதற்குப் பயன்படும் என்று கணிக்க இயலாது என்று கூறி நம்மைத் தற்காத்துக் கொள்கிறோம். ஒவ்வொருவருக்கும் ஓரளவு பயன் இருக்கும் என்பதும், பரந்த முன்னோக்கிச் செயல்பட்டால் மட்டுமே வெற்றிக்கான வாய்ப்பு உள்ளது என்பதும் கிட்டத்தட்ட உறுதியாகிவிட்டது.
மிகப்பெரிய கண்டுபிடிப்புகளில் ஒன்றான எக்ஸ்ரே இயந்திரம், கதிரியக்கத்தன்மை தற்செயலாக கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பிறகு உருவாக்கப்பட்டது பெக்கரல். இந்த வழக்கு இல்லையென்றால், பல வருட ஆராய்ச்சி பயனற்றதாக இருந்திருக்கும். "மனித உடலின் எக்ஸ்ரே எடுப்பதற்கான வழியை நாங்கள் தேடுகிறோம்."
இறுதியாக, மிக முக்கியமான விஷயம். சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் திறன் ஒரு பாத்திரத்தை வகிக்கிறது என்பதை அனைவரும் ஒப்புக்கொள்கிறார்கள். இங்கே எங்கள் விசித்திரமான எண்கள் நன்கு பாதுகாக்கப்படுகின்றன. தொடர்புடைய தேற்றம் (நான் மின்கோவ்ஸ்கியை வெறுக்கிறேன்) சில சமன்பாடுகள் ஒவ்வொரு -ஆடிக் உடலிலும் உண்மையான வேர்கள் மற்றும் வேர்களைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே அவற்றை பகுத்தறிவு எண்களில் தீர்க்க முடியும் என்று கூறுகிறார்.
அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இந்த அணுகுமுறை முன்வைக்கப்பட்டுள்ளது ஆண்ட்ரூ வைல்ஸ், இது கடந்த முந்நூறு ஆண்டுகளில் மிகவும் பிரபலமான கணித சமன்பாட்டை தீர்த்தது - வாசகர்கள் அதை ஒரு தேடுபொறியில் உள்ளிட பரிந்துரைக்கிறேன் "ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றம்".
