மறைக்குறியீடுகள் மற்றும் உளவாளிகள்

இன்றைய கணித மூலையில், தேசிய குழந்தைகள் அறக்கட்டளையின் குழந்தைகளுக்கான வருடாந்திர அறிவியல் முகாமில் நான் விவாதித்த தலைப்பைப் பார்க்கப் போகிறேன். அறிவியல் ஆர்வமுள்ள குழந்தைகள் மற்றும் இளைஞர்களை இந்த அறக்கட்டளை தேடுகிறது. நீங்கள் மிகவும் திறமையானவராக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் நீங்கள் ஒரு "அறிவியல் தொடர்பை" கொண்டிருக்க வேண்டும். மிக நல்ல பள்ளி மதிப்பெண்கள் தேவையில்லை. முயற்சிக்கவும், நீங்கள் விரும்பலாம். நீங்கள் மூத்த தொடக்கப் பள்ளி அல்லது உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவராக இருந்தால், விண்ணப்பிக்கவும். பொதுவாக பெற்றோர்கள் அல்லது பள்ளி அறிக்கைகளை உருவாக்குகிறது, ஆனால் இது எப்போதும் வழக்கு அல்ல. அறக்கட்டளையின் இணையதளத்தைக் கண்டுபிடியுங்கள்.

"குறியீடு" பற்றி பள்ளியில் அதிகமான பேச்சு உள்ளது, முன்பு "புரோகிராமிங்" என்று அழைக்கப்பட்ட செயல்பாட்டைக் குறிப்பிடுகிறது. கோட்பாட்டு கல்வியாளர்களுக்கு இது ஒரு பொதுவான செயல்முறையாகும். அவர்கள் பழைய முறைகளைத் தோண்டி, புதிய பெயரைச் சூட்டுகிறார்கள், "முன்னேற்றம்" தானே உருவாகிறது. இத்தகைய சுழற்சி நிகழ்வு நிகழும் பல பகுதிகள் உள்ளன.

நான் டிடாக்டிக்ஸ் மதிப்பிழக்கிறேன் என்று முடிவு செய்யலாம். இல்லை. நாகரிகத்தின் வளர்ச்சியில், சில சமயங்களில் இருந்த, கைவிடப்பட்ட மற்றும் இப்போது புத்துயிர் பெறுவதற்கு நாம் திரும்புகிறோம். ஆனால் எங்கள் மூலை கணிதம், தத்துவம் அல்ல.

ஒரு குறிப்பிட்ட சமூகத்தைச் சேர்ந்தவர் என்பது "பொதுவான சின்னங்கள்", பொதுவான வாசிப்புகள், சொற்கள் மற்றும் உவமைகள் என்றும் பொருள்படும். "Szczebrzeszyn இல் ஒரு பெரிய புதர் உள்ளது, நாணலில் ஒரு வண்டு ஒலிக்கிறது" போலந்து மொழியைக் கச்சிதமாகக் கற்றுக்கொண்டவர், மரங்கொத்தி என்ன செய்கிறார் என்ற கேள்விக்கு பதிலளிக்கவில்லை என்றால், அவர் உடனடியாக ஒரு வெளிநாட்டு மாநிலத்தின் உளவாளி என்று அம்பலப்படுத்தப்படுவார். நிச்சயமாக அவர் மூச்சுத் திணறுகிறார்!

இது வெறும் நகைச்சுவை அல்ல. டிசம்பர் 1944 இல், ஜேர்மனியர்கள் ஆர்டென்னஸில் தங்கள் கடைசி தாக்குதலை பெரும் செலவில் தொடங்கினர். நேச நாட்டுப் படைகளின் இயக்கத்தை சீர்குலைக்க சரளமாக ஆங்கிலம் பேசும் வீரர்களை அவர்கள் அணிதிரட்டினர், உதாரணமாக குறுக்கு வழியில் அவர்களை தவறான திசையில் அழைத்துச் சென்றனர். ஒரு நிமிட ஆச்சரியத்திற்குப் பிறகு, அமெரிக்கர்கள் வீரர்களிடம் சந்தேகத்திற்கிடமான கேள்விகளைக் கேட்கத் தொடங்கினர், அதற்கான பதில்கள் டெக்சாஸ், நெப்ராஸ்கா அல்லது ஜார்ஜியாவைச் சேர்ந்த ஒருவருக்குத் தெரியும் மற்றும் அங்கு வளராத ஒருவருக்கு நினைத்துப் பார்க்க முடியாது. உண்மைகளைப் பற்றிய அறியாமை நேரடியாக மரணதண்டனைக்கு இட்டுச் சென்றது.

அந்த இடம் வரை. லூகாஸ் படோவ்ஸ்கி மற்றும் ஜஸ்லாவ் அடாமாஷெக் ஆகியோரின் புத்தகத்தை வாசகர்களுக்கு நான் பரிந்துரைக்கிறேன் "மேசை டிராயரில் ஆய்வகம் - கணிதம்". கணிதம் உண்மையில் எதற்கும் பயன்படும், "கணித பரிசோதனை" என்பது வெற்று வார்த்தைகள் அல்ல என்பதை அற்புதமாக காட்டும் அற்புதமான புத்தகம் இது. இது மற்றவற்றுடன், "அட்டைப் புதிர்" இன் விவரிக்கப்பட்ட கட்டுமானத்தையும் உள்ளடக்கியது - இது ஒரு சாதனத்தை உருவாக்க பதினைந்து நிமிடங்கள் மட்டுமே எடுக்கும் மற்றும் இது ஒரு தீவிர சைபர் இயந்திரம் போல செயல்படுகிறது. இந்த யோசனை மிகவும் நன்கு அறியப்பட்டதாக இருந்தது, குறிப்பிடப்பட்ட ஆசிரியர்கள் அதை அழகாக உருவாக்கியுள்ளனர், மேலும் நான் அதை கொஞ்சம் மாற்றி மேலும் கணித ஆடைகளில் போர்த்தி விடுகிறேன்.

ஹேக்ஸாக்கள்

வார்சாவின் புறநகரில் உள்ள எனது டச்சா கிராமத்தின் தெருக்களில் ஒன்றில், நடைபாதை சமீபத்தில் "டிர்லிங்க" - அறுகோண நடைபாதை அடுக்குகளிலிருந்து அகற்றப்பட்டது. சவாரி சங்கடமாக இருந்தது, ஆனால் கணிதவியலாளரின் ஆன்மா மகிழ்ச்சியடைந்தது. வழக்கமான (அதாவது வழக்கமான) பலகோணங்களால் விமானத்தை மூடுவது எளிதானது அல்ல. இது முக்கோணங்கள், சதுரங்கள் மற்றும் வழக்கமான அறுகோணங்களாக மட்டுமே இருக்க முடியும்.

இந்த ஆன்மீக மகிழ்ச்சியுடன் நான் கொஞ்சம் கேலி செய்திருக்கலாம், ஆனால் அறுகோணம் ஒரு அழகான உருவம். அதிலிருந்து நீங்கள் மிகவும் வெற்றிகரமான குறியாக்க சாதனத்தை உருவாக்கலாம். வடிவியல் உதவும். அறுகோணமானது சுழற்சி சமச்சீர்மையைக் கொண்டுள்ளது - 60 டிகிரியின் பெருக்கத்தால் சுழலும் போது அது தன்னைத்தானே மேலெழுகிறது. புலம் குறிக்கப்பட்டது, எடுத்துக்காட்டாக, மேல் இடதுபுறத்தில் A என்ற எழுத்துடன் அத்தி. 1 இந்த கோணத்தில் திரும்பிய பிறகு, அது A பெட்டியில் விழும் - மற்ற எழுத்துக்களுடன் அதே போல். எனவே கட்டத்திலிருந்து ஆறு சதுரங்களை வெட்டுவோம், ஒவ்வொன்றும் வெவ்வேறு எழுத்துகளுடன். இந்த வழியில் பெறப்பட்ட கட்டத்தை ஒரு தாளில் வைக்கிறோம். இலவச ஆறு புலங்களில், நாம் குறியாக்கம் செய்ய விரும்பும் உரையின் ஆறு எழுத்துக்களை உள்ளிடவும். தாளை 60 டிகிரி சுழற்றுவோம். ஆறு புதிய புலங்கள் தோன்றும் - எங்கள் செய்தியின் அடுத்த ஆறு எழுத்துக்களை உள்ளிடவும்.

அரிசி. 1. கணிதத்தின் மகிழ்ச்சியின் இணைப்புகள்.

வலதுபுறம் அத்தி. 1 எங்களிடம் இந்த வழியில் குறியிடப்பட்ட உரை உள்ளது: "நிலையத்தில் ஒரு பெரிய கனமான நீராவி இன்ஜின் உள்ளது."

இப்போது கொஞ்சம் பள்ளிக் கணிதம் கைக்கு வரும். இரண்டு எண்களை ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புடையதாக எத்தனை வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம்?

என்ன ஒரு முட்டாள்தனமான கேள்வி? இருவருக்கு: ஒன்று முன்னால் அல்லது மற்றொன்று.

சிறப்பானது. மற்றும் மூன்று எண்கள்?

எல்லா அமைப்புகளையும் பட்டியலிடுவது கடினம் அல்ல:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

சரி, அது நாலு பேருக்கு! அதை இன்னும் தெளிவாக உச்சரிக்க முடியும். நான் போட்ட ஆர்டர் விதியை யூகிக்கவும்:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

இலக்கங்கள் ஐந்தாக இருக்கும்போது, ​​120 சாத்தியமான அமைப்புகளைப் பெறுவோம். அவர்களை அழைப்போம் வரிசைமாற்றங்கள். n எண்களின் சாத்தியமான வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கையானது 1 2 3 ... n என்ற தயாரிப்பு ஆகும் வலுவான மற்றும் ஆச்சரியக்குறியுடன் குறிக்கப்பட்டது: 3!=6, 4!=24, 5!=120. அடுத்த எண் 6க்கு 6!=720 உள்ளது. எங்கள் அறுகோண சைஃபர் கேடயத்தை மிகவும் சிக்கலானதாக மாற்ற இதைப் பயன்படுத்துவோம்.

0 முதல் 5 வரையிலான எண்களின் வரிசைமாற்றத்தை நாங்கள் தேர்வு செய்கிறோம், எடுத்துக்காட்டாக 351042. எங்கள் அறுகோண ஸ்க்ராம்ப்ளிங் டிஸ்கில் நடுத்தர புலத்தில் ஒரு கோடு உள்ளது - அதனால் அதை "பூஜ்ஜிய நிலையில்" வைக்கலாம் - ஒரு கோடு, அத்தியில் உள்ளது. 1. நாங்கள் எங்கள் அறிக்கையை எழுத வேண்டிய காகிதத்தில் இந்த வழியில் வட்டை வைக்கிறோம், ஆனால் நாங்கள் அதை உடனடியாக எழுதவில்லை, ஆனால் அதை மூன்று முறை 60 டிகிரி (அதாவது 180 டிகிரி) திருப்பி, ஆறு எழுத்துக்களை உள்ளிடவும். காலியான வயல்வெளிகள். நாங்கள் தொடக்க நிலைக்குத் திரும்புகிறோம். 60 டிகிரி மூலம் டயலை ஐந்து முறை திருப்புகிறோம், அதாவது எங்கள் டயலின் ஐந்து "பற்களால்". நாங்கள் அச்சிடுகிறோம். அடுத்த அளவு நிலை பூஜ்ஜியத்தைச் சுற்றி 60 டிகிரி சுழலும் நிலை. நான்காவது நிலை 0 டிகிரி, இது தொடக்க நிலை.

என்ன நடந்தது என்று புரிகிறதா? எங்களுக்கு கூடுதல் வாய்ப்பு உள்ளது - எங்கள் "இயந்திரத்தை" எழுநூறு மடங்குக்கு மேல் சிக்கலாக்க! எனவே, எங்களிடம் "ஆட்டோமேட்டனின்" இரண்டு சுயாதீன நிலைகள் உள்ளன - கட்டத்தின் தேர்வு மற்றும் வரிசைமாற்றத்தின் தேர்வு. கட்டத்தை 66 = 46656 வழிகளில் தேர்வு செய்யலாம், வரிசைமாற்றம் 720. இது 33592320 சாத்தியங்களை வழங்குகிறது. 33 மில்லியனுக்கும் அதிகமான சைபர்கள்! கிட்டத்தட்ட கொஞ்சம் குறைவு, ஏனெனில் சில கட்டங்களை காகிதத்திலிருந்து வெட்ட முடியாது.

கீழ் பகுதியில் அத்தி. 1 எங்களிடம் இது போன்ற குறியிடப்பட்ட செய்தி உள்ளது: "நான் உங்களுக்கு நான்கு பாராசூட் பிரிவுகளை அனுப்புகிறேன்." இதைப் பற்றி எதிரி அறிய அனுமதிக்கக் கூடாது என்பதை எளிதில் புரிந்து கொள்ள முடியும். ஆனால் அவர் இதையாவது புரிந்து கொள்வாரா?

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

YLOAKVMDEYCHESH,

351042 கையொப்பத்துடன் கூடவா?

நாங்கள் ஜெர்மன் சைபர் இயந்திரமான எனிக்மாவை உருவாக்குகிறோம்

அரிசி. 2. எங்கள் குறியாக்க இயந்திரத்தின் ஆரம்ப அமைப்பிற்கான எடுத்துக்காட்டு.

வரிசைமாற்றங்கள் (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

நான் ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, அத்தகைய அட்டை இயந்திரத்தை உருவாக்கும் யோசனைக்கு நான் "லேப் இன் எ டிராயரில் - கணிதம்" புத்தகத்திற்கு கடமைப்பட்டிருக்கிறேன். எனது "கட்டுமானம்" அதன் ஆசிரியர்களால் கொடுக்கப்பட்டவற்றிலிருந்து சற்றே வித்தியாசமானது.

போரின் போது ஜேர்மனியர்கள் பயன்படுத்திய சைபர் இயந்திரம், ஹெக்ஸ் சைஃபருடன் நாம் பார்த்ததைப் போன்ற ஒரு தனித்துவமான எளிமையான கொள்கையைக் கொண்டிருந்தது. ஒவ்வொரு முறையும் ஒரே விஷயம்: ஒரு கடிதத்தை மற்றொரு கடிதத்திற்கு கடினமாக ஒதுக்குதல். இது மாற்றத்தக்கதாக இருக்க வேண்டும். அதை எப்படி கட்டுப்படுத்துவது?

எந்த வரிசைமாற்றத்தையும் தேர்வு செய்வோம், ஆனால் நீளம் 2 சுழற்சிகளைக் கொண்ட ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுப்போம். எளிமையாகச் சொன்னால், சில மாதங்களுக்கு முன்பு இங்கு விவரிக்கப்பட்டுள்ள "காடெரிபோலுக்" போன்றது, ஆனால் எழுத்துக்களின் அனைத்து எழுத்துக்களையும் உள்ளடக்கியது. 24 எழுத்துக்களை ஒப்புக்கொள்வோம் - ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q இல்லாமல். இப்படி எத்தனை வரிசைமாற்றங்கள்? இது உயர்நிலைப் பள்ளி பட்டதாரிகளுக்கான பணியாகும் (அவர்கள் அதை உடனே தீர்க்க முடியும்). எத்தனை? நிறைய? பல ஆயிரம்? ஆம்:

1912098225024001185793365052108800000000 (இந்த எண்ணைப் படிக்கக் கூட முயற்சி செய்ய வேண்டாம்). "பூஜ்யம்" நிலையை அமைக்க பல வாய்ப்புகள் உள்ளன. மேலும் இது கடினமாக இருக்கலாம்.

எங்கள் இயந்திரம் இரண்டு சுற்று வட்டுகளைக் கொண்டுள்ளது. இன்னும் நிற்கும் அவற்றில் ஒன்றில், கடிதங்கள் எழுதப்பட்டுள்ளன. இது பழைய தொலைபேசியின் டயல் போன்றது, அங்கு நீங்கள் டயலை முழுவதுமாக திருப்பி ஒரு எண்ணை டயல் செய்தீர்கள். ரோட்டரி வண்ணத் திட்டத்துடன் இரண்டாவது இடத்தில் உள்ளது. ஒரு முள் பயன்படுத்தி வழக்கமான கார்க்கில் அவற்றை வைப்பதே எளிதான வழி. கார்க் பதிலாக, நீங்கள் ஒரு மெல்லிய பலகை அல்லது தடித்த அட்டை பயன்படுத்தலாம். Lukasz Badowski மற்றும் Zasław Adamaszek ஆகியோர் இரண்டு டிஸ்க்குகளையும் ஒரு CD பெட்டியில் வைக்க பரிந்துரைக்கின்றனர்.

நாம் ARMATY என்ற வார்த்தையை குறியாக்கம் செய்ய விரும்புகிறோம் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள் (அரிசி. 2 மற்றும் 3) சாதனத்தை பூஜ்ஜிய நிலைக்கு அமைக்கவும் (மேல் அம்புக்குறி). எழுத்து A என்பது F உடன் ஒத்துள்ளது. உள் சுற்று ஒரு எழுத்தை வலது பக்கம் சுழற்று. குறியாக்கம் செய்ய எங்களிடம் R என்ற எழுத்து உள்ளது, இப்போது அது A க்கு ஒத்திருக்கிறது. அடுத்த சுழற்சிக்குப் பிறகு, M என்ற எழுத்து U க்கு ஒத்திருப்பதைக் காண்கிறோம். அடுத்த சுழற்சி (நான்காவது வரைபடம்) கடிதப் பரிமாற்றம் A - P ஐக் கொடுக்கிறது. ஐந்தாவது டயலில் T. - A. இறுதியாக (ஆறாவது வட்டம் ) Y – Y நமது CFCFAகள் அவருக்கு ஆபத்தானதாக இருக்கும் என்று எதிரி ஒருவேளை யூகிக்க மாட்டார். "நம்முடையது" அனுப்புதலை எவ்வாறு படிக்கும்? அவர்கள் அதே இயந்திரம், அதே "திட்டமிடப்பட்ட", அதாவது, அதே வரிசைமாற்றத்துடன் இருக்க வேண்டும். மறைக்குறியீடு பூஜ்ஜிய நிலையில் தொடங்குகிறது. எனவே F இன் மதிப்பு A. டயலை கடிகார திசையில் திருப்பவும். A என்ற எழுத்து இப்போது R உடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. அவர் டயலை வலது பக்கம் திருப்பினார் மற்றும் U என்ற எழுத்தின் கீழ் M போன்றவற்றைக் கண்டறிகிறார். சைபர் எழுத்தர் ஜெனரலிடம் ஓடுகிறார்: "பொது, நான் அறிக்கை செய்கிறேன், துப்பாக்கிகள் வருகின்றன!"

அரிசி. 3. எங்கள் காகித Enigma செயல்பாட்டின் கொள்கை.

அரிசி. 3. எங்கள் காகித Enigma செயல்பாட்டின் கொள்கை.

அத்தகைய பழமையான புதிரின் சாத்தியங்கள் ஆச்சரியமானவை. பிற வெளியீட்டு வரிசைமாற்றங்களை நாம் தேர்வு செய்யலாம். நம்மால் முடியும் - மேலும் இங்கே இன்னும் அதிக வாய்ப்புகள் உள்ளன - ஒரு “செரிஃப்” தவறாமல், ஒரு குறிப்பிட்ட, தினசரி மாறும் வரிசையில், ஒரு அறுகோணத்தைப் போன்றது (எடுத்துக்காட்டாக, முதல் மூன்று எழுத்துக்கள், பின்னர் ஏழு, பின்னர் எட்டு, நான்கு ... .. முதலியன.).

நீங்கள் எப்படி யூகிக்க முடியும்?! இன்னும் போலந்து கணிதவியலாளர்களுக்கு (மரியன் ரீவ்ஸ்கி, ஹென்றி ஜிகல்ஸ்கி, ஜெர்சி ருசிக்கி) நடந்தது. இவ்வாறு கிடைத்த தகவல்கள் விலைமதிப்பற்றவை. முன்னதாக, அவர்கள் நமது பாதுகாப்பு வரலாற்றில் சமமான முக்கிய பங்களிப்பைக் கொண்டிருந்தனர். வக்லாவ் சியர்பின்ஸ்கி i ஸ்டானிஸ்லாவ் மஸூர்கேவிச்1920 இல் ரஷ்ய துருப்புக்களின் குறியீட்டை மீறியவர். இடைமறித்த கேபிள், வெப்ஸ் ஆற்றில் இருந்து பிரபலமான சூழ்ச்சியைச் செய்வதற்கான வாய்ப்பை Piłsudski க்கு வழங்கியது.

வாஸ்லாவ் சியர்பின்ஸ்கி (1882-1969) என்பது எனக்கு நினைவிருக்கிறது. வெளியுலகமே இல்லாத ஒரு கணிதவியலாளனாகத் தோன்றினான். 1920 இல் இராணுவம் மற்றும் அரசியல் காரணங்களுக்காக வெற்றியில் அவர் பங்கேற்பதைப் பற்றி பேச முடியவில்லை (போலந்து மக்கள் குடியரசின் அதிகாரிகள் சோவியத் யூனியனில் இருந்து எங்களைப் பாதுகாத்தவர்களை விரும்பவில்லை).

படம். 4. வரிசைமாற்றம் (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

அரிசி. 5. அழகான அலங்காரம், ஆனால் குறியாக்கத்திற்கு ஏற்றது அல்ல. மிகவும் வழக்கமாக.

1 வேலை. Na அத்தி. 4 எனிக்மாவை உருவாக்க உங்களுக்கு மற்றொரு வரிசைமாற்றம் உள்ளது. வரைபடத்தை xerograph க்கு நகலெடுக்கவும். ஒரு காரை உருவாக்கவும், உங்கள் முதல் மற்றும் கடைசி பெயரைக் குறிக்கவும். என் CWONUE JTRYGT. உங்கள் குறிப்புகளை நீங்கள் தனிப்பட்டதாக வைத்திருக்க வேண்டும் என்றால், Cardboard Enigma ஐப் பயன்படுத்தவும்.

2 வேலை. நீங்கள் பார்த்த “கார்களில்” ஒன்றின் உங்கள் பெயரையும் குடும்பப்பெயரையும் குறியாக்குங்கள், ஆனால் (கவனம்!) கூடுதல் சிக்கலுடன்: நாங்கள் ஒரு கோடு வலதுபுறமாகத் திருப்பவில்லை, ஆனால் திட்டத்தின் படி {1, 2, 3, 2, 1, 2. . எனது முதல் மற்றும் கடைசி பெயர் CZTTAK SDBITH என குறியாக்கம் செய்யப்பட்டிருப்பதை உறுதிசெய்யவும். எனிக்மா இயந்திரம் எவ்வளவு சக்தி வாய்ந்தது என்று இப்போது புரிகிறதா?

உயர்நிலைப் பள்ளி பட்டதாரிகளுக்கான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது. எனிக்மாவுக்கான எத்தனை உள்ளமைவு விருப்பங்கள் (இந்தப் பதிப்பில், கட்டுரையில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி)? எங்களிடம் 24 எழுத்துக்கள் உள்ளன. நாங்கள் முதல் ஜோடி எழுத்துக்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம் - இதைச் செய்யலாம்

வழிகள். அடுத்த ஜோடியை தேர்வு செய்யலாம்

வழிகள், மேலும்

முதலியன தொடர்புடைய கணக்கீடுகளுக்குப் பிறகு (அனைத்து எண்களும் பெருக்கப்பட வேண்டும்), நாம் பெறுகிறோம்

151476660579404160000

பிறகு அந்த எண்ணை 12 ஆல் வகுக்கவும்! (12 காரணி), ஏனெனில் அதே ஜோடிகளை வேறு வரிசையில் பெறலாம். எனவே இறுதியில் நாம் "மொத்தம்" பெறுகிறோம்

316234143225,

இது வெறும் 300 பில்லியனுக்கும் அதிகமாகும், இன்றைய சூப்பர் கம்ப்யூட்டர்களுக்கு இது பெரிய எண்ணிக்கையாகத் தெரியவில்லை. இருப்பினும், வரிசைமாற்றங்களின் சீரற்ற வரிசையை கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், இந்த எண்ணிக்கை கணிசமாக அதிகரிக்கிறது. மற்ற வகை வரிசைமாற்றங்களையும் நாம் சிந்திக்கலாம்.

மேலும் காண்க: