சிக்கலான நடத்தை கொண்ட எளிய மாதிரிகள் அதாவது குழப்பம்

கணினி என்பது இயற்கையால் கவனமாக மறைத்து வைக்கப்பட்டுள்ள இரகசியங்களை வெளிக்கொணர விஞ்ஞானிகளால் அதிகளவில் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு கருவியாகும். மாடலிங், சோதனை மற்றும் கோட்பாட்டுடன் சேர்ந்து, உலகத்தைப் படிக்க மூன்றாவது வழியாக மாறி வருகிறது.

மூன்று ஆண்டுகளுக்கு முன்பு, சிலேசியா பல்கலைக்கழகத்தில், கணினி முறைகளை கல்வியில் ஒருங்கிணைக்கும் திட்டத்தை நாங்கள் தொடங்கினோம். இதன் விளைவாக, மிகவும் உற்சாகமான செயற்கையான பொருட்கள் நிறைய உருவாக்கப்பட்டுள்ளன, இது பல தலைப்புகளைப் படிப்பதை எளிதாகவும் ஆழமாகவும் ஆக்குகிறது. பைதான் முக்கிய கருவியாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது, இது, கிடைக்கக்கூடிய அறிவியல் நூலகங்களின் சக்தியுடன், சமன்பாடுகள், படங்கள் அல்லது தரவுகளுடன் கூடிய "கணினி சோதனைகளுக்கு" சிறந்த தீர்வாக இருக்கலாம். ஒரு முழுமையான பணியிடத்தின் மிகவும் சுவாரஸ்யமான செயலாக்கங்களில் ஒன்று சேஜ் [2] ஆகும். இது பைதான் மொழியுடன் கணினி இயற்கணித அமைப்பின் திறந்த ஒருங்கிணைப்பாகும், மேலும் இணைய உலாவியைப் பயன்படுத்தி உடனடியாக விளையாடத் தொடங்கவும் மற்றும் கிளவுட் சேவை [3] அல்லது ஊடாடும் ஒரு கணினி சேவையகம் மூலம் சாத்தியமான அணுகல் விருப்பங்களில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தவும் உங்களை அனுமதிக்கிறது. இந்தக் கட்டுரையின் பதிப்பு [4] ஐ அடிப்படையாகக் கொண்டது.

குழப்பம் மற்றும் சூழலியல்

ஆக்ஸ்போர்டு பல்கலைக்கழகத்தில் முதல் வருடங்களில், ஆஸ்திரேலிய விஞ்ஞானி ராபர்ட் மே, மக்கள்தொகை இயக்கவியலின் தத்துவார்த்த அம்சங்களை ஆய்வு செய்தார். நேச்சர் இதழில் "மிக சிக்கலான இயக்கவியலுடன் கூடிய எளிய கணித மாதிரிகள்" [1] என்ற ஆத்திரமூட்டும் தலைப்பின் கீழ் வெளிவந்த ஒரு தாளில் அவர் தனது பணியைச் சுருக்கமாகக் கூறினார். பல ஆண்டுகளாக, இந்த கட்டுரை கோட்பாட்டு சூழலியலில் மிகவும் மேற்கோள் காட்டப்பட்ட படைப்புகளில் ஒன்றாக மாறியுள்ளது. இந்த வேலையில் இத்தகைய ஆர்வத்தை ஏற்படுத்தியது என்ன?

மக்கள்தொகை இயக்கவியலின் கிளாசிக்கல் பிரச்சனையானது, ஒரு குறிப்பிட்ட இனத்தின் எதிர்கால மக்கள்தொகையை அதன் தற்போதைய நிலையைக் கணக்கிடுவதாகும். கணித ரீதியாக, ஒரு தலைமுறை மக்கள்தொகையின் வாழ்க்கை ஒரு பருவத்தில் நீடிக்கும் சுற்றுச்சூழல் அமைப்புகள் எளிமையானதாகக் கருதப்படுகின்றன. பட்டாம்பூச்சிகள் போன்ற ஒரு பருவத்தில் முழுமையான உருமாற்றத்திற்கு உட்படும் பூச்சிகளின் எண்ணிக்கை ஒரு நல்ல உதாரணம். நேரம் இயற்கையாகவே மக்கள்தொகையின் வாழ்க்கைச் சுழற்சிகளுடன் தொடர்புடைய தனித்தனி காலங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே, அத்தகைய சுற்றுச்சூழல் அமைப்பை விவரிக்கும் சமன்பாடுகள் இயற்கையாகவே அழைக்கப்படுகின்றன தனித்துவமான நேரம், அதாவது. t = 2…. ராபர்ட் மே மற்றவற்றுடன் இத்தகைய இயக்கவியலைக் கையாண்டார். அவரது பகுத்தறிவில், அவர் சுற்றுச்சூழல் அமைப்பை ஒரு இனத்திற்கு எளிமைப்படுத்தினார், அதன் மக்கள்தொகை முந்தைய ஆண்டு மக்கள்தொகையின் இருபடி செயல்பாடு ஆகும். இந்த மாதிரி எங்கிருந்து வந்தது?

மக்கள்தொகையின் பரிணாம வளர்ச்சியை விவரிக்கும் எளிமையான தனித்த சமன்பாடு ஒரு நேரியல் மாதிரி:

Ni என்பது i-வது பருவத்தில் மிகுதியாக உள்ளது, மேலும் Ni + 1 என்பது அடுத்த பருவத்தில் உள்ள மக்கள்தொகையை விவரிக்கிறது. அத்தகைய சமன்பாடு மூன்று காட்சிகளுக்கு வழிவகுக்கும் என்பதைப் பார்ப்பது எளிது. a = 1 எனும்போது, ​​பரிணாமம் மக்கள்தொகையின் அளவை மாற்றாது, மேலும் <1 அழிவுக்கு வழிவகுக்கிறது, மேலும் a > 1 என்பது வரம்பற்ற மக்கள்தொகை வளர்ச்சியைக் குறிக்கிறது. இது இயற்கையில் ஏற்றத்தாழ்வுக்கு வழிவகுக்கும். இயற்கையில் உள்ள அனைத்தும் வரம்புக்குட்பட்டவை என்பதால், வரையறுக்கப்பட்ட வளங்களைக் கணக்கிடுவதற்கு இந்த சமன்பாட்டை சரிசெய்வது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது. பூச்சிகள் தானியத்தை சாப்பிடுகின்றன என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள், இது ஒவ்வொரு ஆண்டும் சரியாக இருக்கும். அவை இனப்பெருக்கம் செய்யக்கூடிய உணவின் அளவுடன் ஒப்பிடும்போது பூச்சிகள் குறைவாக இருந்தால், அவை முழு இனப்பெருக்க சக்தியில் இனப்பெருக்கம் செய்ய முடியும், கணித ரீதியாக நிலையான a > 1 மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், பூச்சிகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது, ​​உணவு பற்றாக்குறை மற்றும் இனப்பெருக்க திறன் குறையும். ஒரு முக்கியமான வழக்கில், பல பூச்சிகள் பிறக்கின்றன என்று கற்பனை செய்யலாம், அவை இனப்பெருக்கம் செய்ய நேரம் கிடைக்கும் முன்பே அனைத்து தானியங்களையும் சாப்பிடுகின்றன, மேலும் மக்கள் இறக்கின்றனர். உணவுக்கான வரம்புக்குட்பட்ட அணுகலின் இந்த விளைவைக் கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளும் மாதிரியானது 1838 இல் வெர்ஹல்ஸ்ட்டால் முதன்முதலில் முன்மொழியப்பட்டது. இந்த மாதிரியில், வளர்ச்சி விகிதம் நிலையானது அல்ல, ஆனால் மக்கள்தொகையின் நிலையைப் பொறுத்தது:

வளர்ச்சி விகிதம் a மற்றும் Ni இடையே உள்ள உறவு பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்: மக்கள் தொகை அதிகரித்தால், உணவு கிடைப்பது கடினம் என்பதால் வளர்ச்சி விகிதம் குறைய வேண்டும். நிச்சயமாக, இந்த சொத்துடன் பல செயல்பாடுகள் உள்ளன: இவை மேல்-கீழ் செயல்பாடுகள். Verhulst பின்வரும் உறவை முன்மொழிந்தார்:

இங்கு a>0 மற்றும் நிலையான K>0 ஆகியவை உணவு வளங்களை வகைப்படுத்துகின்றன மற்றும் அவை சுற்றுச்சூழலின் திறன் என அழைக்கப்படுகின்றன. K இன் மாற்றம் மக்கள்தொகை வளர்ச்சி விகிதத்தை எவ்வாறு பாதிக்கிறது? K அதிகரித்தால், Ni/K குறைகிறது. இதையொட்டி, 1-Ni/K வளரும் என்பதற்கு இது வழிவகுக்கிறது, அதாவது அது வளரும். இதன் பொருள் வளர்ச்சி விகிதம் அதிகரித்து, மக்கள் தொகை வேகமாக வளர்ந்து வருகிறது. எனவே வளர்ச்சி விகிதம் சமன்பாடு (1) போல மாறுகிறது என்று வைத்துக் கொண்டு முந்தைய மாதிரியை (3) மாற்றியமைப்போம். பின்னர் நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

இந்த சமன்பாட்டை சுழல்நிலை சமன்பாடு என்று எழுதலாம்

இதில் xi = Ni / K மற்றும் xi + 1 = Ni + 1 / K ஆனது i மற்றும் நேரம் i + 1 இல் மறுஅளவிடப்பட்ட மக்கள்தொகையைக் குறிக்கிறது. சமன்பாடு (5) லாஜிஸ்டிக் சமன்பாடு எனப்படும்.

இவ்வளவு சிறிய மாற்றத்துடன், எங்கள் மாதிரியை பகுப்பாய்வு செய்வது எளிது என்று தோன்றலாம். சரி பார்க்கலாம். ஆரம்ப மக்கள்தொகை x5 = 0.5 இலிருந்து தொடங்கும் a = 0 அளவுருவின் சமன்பாடு (0.45) ஐக் கவனியுங்கள். தொடர்ச்சியான மக்கள்தொகை மதிப்புகள் சுழல்நிலை சமன்பாட்டை (5) பயன்படுத்தி பெறலாம்:

x₁= கோடாரி₀(1வது₀)

x₂= கோடாரி₁(1வது₁)

x₃= கோடாரி₂(1வது₂)

(6) இல் கணக்கீடுகளை எளிதாக்க, பின்வரும் நிரலைப் பயன்படுத்தலாம் (இது பைத்தானில் எழுதப்பட்டுள்ளது மற்றும் மற்றவற்றுடன், முனிவர் மேடையில் இயக்கப்படலாம். http://icse.us.edu புத்தகத்தைப் படிக்குமாறு பரிந்துரைக்கிறோம். .pl/e-book. ), எங்கள் மாதிரியைப் பிரதிபலிக்கிறது:

a = 0.5 x = 0.45 நான் வரம்பில் (10):      x \u1d a * x * (XNUMX-x)      அச்சு x

xi இன் தொடர்ச்சியான மதிப்புகளைக் கணக்கிட்டு அவை பூஜ்ஜியமாக இருப்பதைக் கவனிக்கிறோம். மேலே உள்ள குறியீட்டைப் பரிசோதிப்பதன் மூலம், x0 இன் ஆரம்ப மதிப்பைப் பொருட்படுத்தாமல் இது உண்மையா என்பதைப் பார்ப்பது எளிது. இதன் பொருள் மக்கள் தொடர்ந்து இறக்கின்றனர்.

பகுப்பாய்வின் இரண்டாவது கட்டத்தில், அளவுரு a இன் மதிப்பை ae (1,3) வரம்பில் உள்ள எந்த மதிப்பிற்கும் அதிகரிக்கிறோம். xi வரிசை ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு x * > 0 க்கு செல்கிறது என்று மாறிவிடும். சூழலியல் பார்வையில் இருந்து இதைப் புரிந்துகொள்வது, மக்கள்தொகை அளவு ஒரு குறிப்பிட்ட மட்டத்தில் நிர்ணயிக்கப்பட்டுள்ளது என்று கூறலாம், இது பருவத்திலிருந்து பருவத்திற்கு மாறாது. . x * இன் மதிப்பு ஆரம்ப நிலை x0 ஐப் பொறுத்தது அல்ல என்பது கவனிக்கத்தக்கது. சுற்றுச்சூழலின் நிலைப்படுத்துதலுக்கான முயற்சியின் விளைவு இதுவாகும் - மக்கள் அதன் அளவை தனக்குத்தானே உணவளிக்கும் திறனுக்கு ஏற்ப மாற்றிக் கொள்கின்றனர். கணித ரீதியாக, கணினி ஒரு நிலையான நிலையான புள்ளியை நோக்கி செல்கிறது என்று கூறப்படுகிறது, அதாவது. x = f(x) சமத்துவத்தை திருப்திப்படுத்துகிறது (அடுத்த கணத்தில் முந்தைய தருணத்தில் இருந்த நிலையே இருக்கும்). முனிவர் மூலம், காலப்போக்கில் மக்கள்தொகையை திட்டமிடுவதன் மூலம் இந்த பரிணாமத்தை வரைபடமாக காட்சிப்படுத்தலாம்.

அத்தகைய உறுதிப்படுத்தல் விளைவு ஆராய்ச்சியாளர்களால் எதிர்பார்க்கப்பட்டது, மேலும் லாஜிஸ்டிக் சமன்பாடு (5) ஆச்சரியமாக இல்லாவிட்டால் அதிக கவனத்தை ஈர்த்திருக்காது. அளவுருவின் சில மதிப்புகளுக்கு, மாதிரி (5) கணிக்க முடியாத வகையில் செயல்படுகிறது. முதலாவதாக, கால மற்றும் பல கால நிலைகள் உள்ளன. இரண்டாவதாக, ஒவ்வொரு கால கட்டத்திலும், மக்கள் தொகை சீரற்ற இயக்கம் போல சமமாக மாறுகிறது. மூன்றாவதாக, ஆரம்ப நிலைகளுக்கு அதிக உணர்திறன் உள்ளது: இரண்டு கிட்டத்தட்ட பிரித்தறிய முடியாத ஆரம்ப நிலைகள் முற்றிலும் வேறுபட்ட மக்கள்தொகை பரிணாமத்திற்கு வழிவகுக்கும். இந்த அம்சங்கள் அனைத்தும் முற்றிலும் சீரற்ற இயக்கத்தை ஒத்த நடத்தையின் சிறப்பியல்பு மற்றும் தீர்மானிக்கும் குழப்பம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இந்த சொத்தை ஆராய்வோம்!

முதலில், a = 3.2 அளவுருவின் மதிப்பை அமைத்து பரிணாமத்தைப் பார்ப்போம். இந்த முறை மக்கள் தொகை ஒரு மதிப்பை அடையவில்லை, ஆனால் இரண்டை எட்டுவது ஆச்சரியமாகத் தோன்றலாம், இது ஒவ்வொரு இரண்டாவது பருவத்திலும் தொடர்ச்சியாக நிகழ்கிறது. இருப்பினும், பிரச்சினைகள் அங்கு முடிவடையவில்லை என்று மாறியது. a = 4 உடன், கணினியை இனி கணிக்க முடியாது. படம் (2) ஐப் பார்ப்போம் அல்லது கணினியைப் பயன்படுத்தி எண்களின் வரிசையை நாமே உருவாக்குவோம். முடிவுகள் முற்றிலும் சீரற்றதாகவும், சற்று வித்தியாசமான தொடக்க மக்களுக்கு முற்றிலும் மாறுபட்டதாகவும் தெரிகிறது. இருப்பினும், கவனமுள்ள வாசகர் எதிர்க்க வேண்டும். ஒரு நிர்ணய சமன்பாடு1 மூலம் விவரிக்கப்பட்ட ஒரு அமைப்பு, மிகவும் எளிமையான ஒன்று கூட, எப்படி கணிக்க முடியாத வகையில் நடந்துகொள்ள முடியும்? நன்று இருக்கலாம்.

இந்த அமைப்பின் ஒரு அம்சம் ஆரம்ப நிலைகளுக்கு அதன் குறிப்பிடத்தக்க உணர்திறன் ஆகும். ஒரு மில்லியனில் வேறுபடும் இரண்டு ஆரம்ப நிலைகளுடன் தொடங்குவது போதுமானது, மேலும் ஒரு சில படிகளில் முற்றிலும் மாறுபட்ட மக்கள்தொகை மதிப்புகளைப் பெறுவோம். கணினியில் சரிபார்ப்போம்:

a = 4.0

x = 0.123 y = 0.123 + 0.000001 பிசிசி = [] நான் வரம்பில் (25): x = a*x*(1-x) y = a*y*(1-y) அச்சு x, y

தீர்மானகரமான பரிணாம வளர்ச்சியின் எளிய மாதிரி இங்கே உள்ளது. ஆனால் இந்த நிர்ணயவாதம் ஏமாற்றக்கூடியது, இது வெறும் கணித நிர்ணயம். ஒரு நடைமுறைக் கண்ணோட்டத்தில், கணினி கணிக்க முடியாத வகையில் செயல்படுகிறது, ஏனெனில் ஆரம்ப நிலைகளை நாம் ஒருபோதும் கணித ரீதியாக சரியாக அமைக்க முடியாது. உண்மையில், எல்லாமே ஒரு குறிப்பிட்ட துல்லியத்துடன் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன: ஒவ்வொரு அளவீட்டு கருவியும் ஒரு குறிப்பிட்ட துல்லியம் கொண்டது, மேலும் இது குழப்பத்தின் சொத்துக்களைக் கொண்ட நிர்ணய அமைப்புகளில் நடைமுறை கணிக்க முடியாத தன்மையை ஏற்படுத்தும். ஒரு உதாரணம் வானிலை முன்னறிவிப்பு மாதிரிகள், இது எப்போதும் குழப்பத்தின் தன்மையை வெளிப்படுத்துகிறது. இதனால்தான் நீண்ட கால வானிலை முன்னறிவிப்புகள் மிகவும் மோசமாக உள்ளன.

குழப்பமான அமைப்புகளின் பகுப்பாய்வு மிகவும் கடினம். இருப்பினும், கணினி உருவகப்படுத்துதல்களின் உதவியுடன் குழப்பத்தின் பல மர்மங்களை நாம் மிக எளிதாக தீர்க்க முடியும். பிளவுபடுதல் வரைபடம் என்று அழைக்கப்படுவதை வரைவோம், அதில் a அளவுருவின் மதிப்புகளை abscissa அச்சில் வைப்போம், மேலும் லாஜிஸ்டிக் மேப்பிங்கின் நிலையான நிலையான புள்ளிகளை ஆர்டினேட் அச்சில் வைப்போம். ஒரே நேரத்தில் அதிக எண்ணிக்கையிலான அமைப்புகளை உருவகப்படுத்துவதன் மூலமும், பல மாதிரி முறைகளுக்குப் பிறகு மதிப்புகளைத் திட்டமிடுவதன் மூலமும் நிலையான புள்ளிகளைப் பெறுகிறோம். நீங்கள் யூகித்தபடி, இதற்கு நிறைய கணக்கீடுகள் தேவை. பின்வரும் மதிப்புகளை "கவனமாக" செயல்படுத்த முயற்சிப்போம்:

எண்பியை np ஆக இறக்குமதி செய் Nx = 300 நா = 500 x = np.linspace (0,1, Nx) х = х + np.zeros((Na,Nx)) х = np. இடமாற்றம் (х) a = np.linspace (1,4, Na) a=a+np.zeros((Nx,Na)) நான் வரம்பில் (100): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] for a_,x_ in zip(a.flatten(),x.flatten())] புள்ளி(pt, அளவு=1, அத்தி அளவு=(7,5))

படம் (3) போன்ற ஒன்றை நாம் பெற வேண்டும். இந்த வரைபடத்தை எவ்வாறு விளக்குவது? எடுத்துக்காட்டாக, a = 3.3 அளவுருவின் மதிப்புடன், எங்களிடம் 2 நிலையான நிலையான புள்ளிகள் உள்ளன (மக்கள் தொகை அளவு ஒவ்வொரு இரண்டாவது பருவத்திலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்). இருப்பினும், a = 3.5 என்ற அளவுருவிற்கு எங்களிடம் 4 நிலையான புள்ளிகள் உள்ளன (ஒவ்வொரு நான்காவது பருவத்திலும் மக்கள்தொகையில் ஒரே எண்ணிக்கை உள்ளது), மேலும் a = 3.56 அளவுருவிற்கு 8 நிலையான புள்ளிகள் உள்ளன (ஒவ்வொரு எட்டாவது பருவத்திலும் மக்கள்தொகை ஒரே எண்ணிக்கையைக் கொண்டுள்ளது). ஆனால் a≈3.57 அளவுருவிற்கு, எங்களிடம் எண்ணற்ற பல நிலையான புள்ளிகள் உள்ளன (மக்கள்தொகை அளவு மீண்டும் நிகழாது மற்றும் கணிக்க முடியாத வழிகளில் மாறுகிறது). இருப்பினும், கணினி நிரல் மூலம், அளவுரு a இன் நோக்கத்தை மாற்றலாம் மற்றும் இந்த வரைபடத்தின் எல்லையற்ற வடிவியல் கட்டமைப்பை நம் கைகளால் ஆராயலாம்.

இது பனிப்பாறையின் முனை மட்டுமே. இந்த சமன்பாட்டைப் பற்றி ஆயிரக்கணக்கான அறிவியல் ஆவணங்கள் எழுதப்பட்டுள்ளன, ஆனால் அது இன்னும் அதன் ரகசியங்களை மறைக்கிறது. கணினி உருவகப்படுத்துதலின் உதவியுடன், நீங்கள் உயர் கணிதத்தை நாடாமல், நேரியல் அல்லாத இயக்கவியல் உலகின் முன்னோடியாக விளையாடலாம். லாஜிஸ்டிக் சமன்பாட்டின் பல சுவாரஸ்யமான பண்புகள் மற்றும் அவற்றைக் காட்சிப்படுத்துவதற்கான சுவாரஸ்யமான வழிகள் பற்றிய விவரங்களைக் கொண்ட ஆன்லைன் பதிப்பைப் படிக்க உங்களை அழைக்கிறோம்.

¹ ஒரு நிர்ணய சட்டம் என்பது ஆரம்ப நிலையால் எதிர்காலம் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படும் ஒரு சட்டமாகும். எதிர்ச்சொல் என்பது நிகழ்தகவு சட்டம். ² கணிதத்தில், "தனித்துவம்" என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட கணக்கிடக்கூடிய தொகுப்பிலிருந்து மதிப்புகளைப் பெறுவதைக் குறிக்கிறது. எதிர் "தொடர்ச்சி".