தலைகீழ் வசீகரம்

"எதிர்களின் வசீகரம்" பற்றி நிறைய பேச்சு உள்ளது, மற்றும் கணிதத்தில் மட்டுமல்ல. எதிரெதிர் எண்கள் குறியில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: கூட்டல் 7 மற்றும் கழித்தல் 7. எதிர் எண்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியம். ஆனால் எங்களுக்கு (அதாவது கணிதவியலாளர்கள்) பரஸ்பரம் மிகவும் சுவாரஸ்யமானது. எண்களின் பெருக்கல் 1 க்கு சமமாக இருந்தால், இந்த எண்கள் ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறாக இருக்கும். ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் அதன் எதிர் எதிர் உள்ளது, பூஜ்ஜியம் அல்லாத ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் அதன் தலைகீழ் உள்ளது. பரஸ்பரத்தின் பரஸ்பரம் விதை.

இரண்டு அளவுகள் ஒன்றோடு ஒன்று தொடர்புடைய இடங்களில் தலைகீழ் நிகழ்கிறது, ஒன்று அதிகரித்தால், மற்றொன்று தொடர்புடைய விகிதத்தில் குறைகிறது. "தொடர்புடையது" என்பது இந்த அளவுகளின் தயாரிப்பு மாறாது. பள்ளியிலிருந்து நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம்: இது ஒரு தலைகீழ் விகிதம். நான் எனது இலக்கை இருமடங்கு வேகமாக அடைய விரும்பினால் (அதாவது நேரத்தை பாதியாக குறைக்கவும்), எனது வேகத்தை இரட்டிப்பாக்க வேண்டும். வாயுவுடன் சீல் செய்யப்பட்ட பாத்திரத்தின் அளவு n மடங்கு குறைக்கப்பட்டால், அதன் அழுத்தம் n மடங்கு அதிகரிக்கும்.

தொடக்கக் கல்வியில், வேறுபட்ட மற்றும் உறவினர் ஒப்பீடுகளை கவனமாக வேறுபடுத்துகிறோம். "இன்னும் எத்தனை"? - "இன்னும் எத்தனை முறை?"

பள்ளியின் சில செயல்பாடுகள் இங்கே:

1 வேலை. இரண்டு நேர்மறை மதிப்புகளில், முதல் மதிப்பு இரண்டாவது விட 5 மடங்கு பெரியது மற்றும் அதே நேரத்தில் முதல் விட 5 மடங்கு பெரியது. பரிமாணங்கள் என்ன?

2 வேலை. ஒரு எண் இரண்டாவது எண்ணை விட 3 அதிகமாகவும், இரண்டாவது மூன்றாவது எண்ணை விட 2 அதிகமாகவும் இருந்தால், முதல் எண் மூன்றாவது எண்ணை விட எவ்வளவு பெரியது? முதல் நேர்மறை எண் இரண்டாவது இரண்டு மடங்கும், முதல் எண் மூன்றில் மூன்று மடங்கும் இருந்தால், முதல் எண் மூன்றை விட எத்தனை மடங்கு பெரியது?

3 வேலை. பணி 2 இல், இயற்கை எண்கள் மட்டுமே அனுமதிக்கப்படுகின்றன. அங்கு விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி அத்தகைய ஏற்பாடு சாத்தியமா?

4 வேலை. இரண்டு நேர்மறை மதிப்புகளில், முதலாவது 5 மடங்கு இரண்டாவது, மற்றும் இரண்டாவது 5 மடங்கு முதல். இது முடியுமா?

"சராசரி" அல்லது "சராசரி" என்ற கருத்து மிகவும் எளிமையானதாகத் தெரிகிறது. திங்கட்கிழமை 55 கிமீ, செவ்வாய் கிழமை 45 கிமீ, புதன்கிழமை 80 கிமீ சைக்கிள் ஓட்டினால் சராசரியாக ஒரு நாளைக்கு 60 கிமீ சைக்கிள் ஓட்டினேன். நான் ஒரே நாளில் 60 கி.மீ ஓட்டாததால் கொஞ்சம் விசித்திரமாக இருந்தாலும் இந்தக் கணக்கீடுகளை நாங்கள் முழு மனதுடன் ஏற்றுக்கொள்கிறோம். ஒரு நபரின் பங்குகளை நாங்கள் எளிதாக ஏற்றுக்கொள்கிறோம்: ஆறு நாட்களுக்குள் இருநூறு பேர் ஒரு உணவகத்திற்குச் சென்றால், சராசரி தினசரி விகிதம் 33 மற்றும் மூன்றாவது நபர். ம்!

சராசரி அளவில் மட்டுமே சிக்கல்கள் உள்ளன. எனக்கு சைக்கிள் ஓட்டுவது பிடிக்கும். எனவே "எங்களுடன் செல்வோம்" என்ற பயண நிறுவனத்தின் சலுகையை நான் பயன்படுத்திக் கொண்டேன் - அவர்கள் ஹோட்டலுக்கு சாமான்களை வழங்குகிறார்கள், அங்கு வாடிக்கையாளர் பொழுதுபோக்கு நோக்கங்களுக்காக சைக்கிள் ஓட்டுகிறார். வெள்ளிக்கிழமை நான் நான்கு மணிநேரம் ஓட்டினேன்: முதல் இரண்டு மணிக்கு 24 கிமீ வேகத்தில். பின்னர் நான் மிகவும் சோர்வடைந்தேன், அடுத்த இரண்டு மணி நேரத்திற்கு 16 மட்டுமே. எனது சராசரி வேகம் என்ன? நிச்சயமாக (24+16)/2=20km=20km/h.

ஆனால், சனிக்கிழமையன்று சாமான்களை ஹோட்டலில் வைத்துவிட்டு, 24 கி.மீ தொலைவில் உள்ள கோட்டையின் இடிபாடுகளைப் பார்க்கச் சென்று, அவற்றைப் பார்த்துவிட்டுத் திரும்பினேன். நான் ஒரு திசையில் ஒரு மணிநேரம் ஓட்டி, மீண்டும் மெதுவாக, மணிக்கு 16 கிமீ வேகத்தில் திரும்பினேன். ஹோட்டல்-காஸ்டில்-ஹோட்டல் பாதையில் எனது சராசரி வேகம் என்ன? மணிக்கு 20 கிமீ? நிச்சயமாக இல்லை. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, நான் மொத்தம் 48 கிமீ ஓட்டினேன், அது எனக்கு ஒரு மணிநேரம் ("அங்கே") மற்றும் ஒன்றரை மணிநேரம் திரும்பியது. இரண்டரை மணி நேரத்தில் 48 கி.மீ., அதாவது. மணி 48/2,5=192/10=19,2 கிமீ! இந்த சூழ்நிலையில், சராசரி வேகம் எண்கணித சராசரி அல்ல, ஆனால் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் இணக்கம்:

மற்றும் இந்த இரண்டு-அடுக்கு சூத்திரத்தை பின்வருமாறு படிக்கலாம்: நேர்மறை எண்களின் ஒத்திசைவான சராசரி என்பது அவற்றின் பரஸ்பர எண்கணித சராசரியின் பரஸ்பரமாகும். பரஸ்பரத் தொகையின் பரஸ்பரம் பள்ளிப் பணிகளின் பல கோரஸ்களில் தோன்றும்: ஒரு தொழிலாளி மணிநேரத்தை தோண்டினால், மற்றவர் - பி மணிநேரம், பின்னர், ஒன்றாக வேலை செய்தால், அவர்கள் சரியான நேரத்தில் தோண்டி எடுக்கிறார்கள். நீர் குளம் (ஒரு மணி நேரத்திற்கு ஒன்று, மற்றொன்று பி மணிநேரத்தில்). ஒரு மின்தடையம் R1 மற்றும் மற்றொன்று R2 இருந்தால், அவை இணையான எதிர்ப்பைக் கொண்டிருக்கும். 

ஒரு கம்ப்யூட்டரால் ஒரு சிக்கலை நொடிகளிலும், மற்றொரு கணினி ப வினாடிகளிலும் தீர்க்க முடியும் என்றால், அவை ஒன்றாக வேலை செய்யும் போது...

நிறுத்து! இது ஒப்புமை முடிவடைகிறது, ஏனென்றால் எல்லாமே நெட்வொர்க்கின் வேகத்தைப் பொறுத்தது: இணைப்புகளின் செயல்திறன். தொழிலாளிகளும் ஒருவரையொருவர் தடுக்கலாம் அல்லது உதவலாம். ஒரு மனிதனால் எட்டு மணி நேரத்தில் கிணறு தோண்ட முடியும் என்றால், எண்பது தொழிலாளர்கள் அதை 1/10 மணி நேரத்தில் (அல்லது 6 நிமிடங்களில்) செய்ய முடியுமா? ஆறு போர்ட்டர்கள் 6 நிமிடங்களில் பியானோவை முதல் தளத்திற்கு எடுத்துச் சென்றால், அவர்களில் ஒருவர் பியானோவை அறுபதாவது மாடிக்கு வழங்க எவ்வளவு நேரம் ஆகும்? இத்தகைய சிக்கல்களின் அபத்தமானது, "வாழ்க்கையிலிருந்து" சிக்கல்களுக்கு அனைத்து கணிதங்களின் மட்டுப்படுத்தப்பட்ட பொருந்தக்கூடிய தன்மையை மனதில் கொண்டு வருகிறது.

முழு விற்பனையாளரைப் பற்றி 

செதில்கள் இனி பயன்படுத்தப்படாது. அத்தகைய செதில்களின் ஒரு கிண்ணத்தில் ஒரு எடை வைக்கப்பட்டு, எடை போடப்படும் பொருட்கள் மற்றொன்றில் வைக்கப்பட்டன, எடை சமநிலையில் இருக்கும்போது, ​​​​பொருட்கள் எடையின் எடையைப் போலவே இருக்கும். நிச்சயமாக, எடை சுமையின் இரு கைகளும் ஒரே நீளமாக இருக்க வேண்டும், இல்லையெனில் எடை தவறாக இருக்கும்.

ஓ சரி. சமமற்ற அந்நியச் செலாவணியுடன் எடை கொண்ட ஒரு விற்பனையாளரை கற்பனை செய்து பாருங்கள். இருப்பினும், அவர் வாடிக்கையாளர்களுடன் நேர்மையாக இருக்க விரும்புகிறார் மற்றும் பொருட்களை இரண்டு தொகுதிகளாக எடைபோடுகிறார். முதலில், அவர் ஒரு கடாயில் ஒரு எடையை வைக்கிறார், மற்றொன்று தொடர்புடைய அளவு பொருட்களை - செதில்கள் சமநிலையில் இருக்கும். பின்னர் அவர் சரக்குகளின் இரண்டாவது "பாதியை" தலைகீழ் வரிசையில் எடைபோடுகிறார், அதாவது, அவர் எடையை இரண்டாவது கிண்ணத்திலும், பொருட்களை முதல் கிண்ணத்திலும் வைக்கிறார். கைகள் சமமற்றவை என்பதால், "பாதிகள்" ஒருபோதும் சமமாக இருக்காது. மற்றும் விற்பனையாளரின் மனசாட்சி தெளிவாக உள்ளது, மற்றும் வாங்குபவர்கள் அவரது நேர்மையைப் பாராட்டுகிறார்கள்: "நான் இங்கே நீக்கியதை, நான் சேர்த்தேன்."

இருப்பினும், ஆபத்தான எடை இருந்தபோதிலும் நேர்மையாக இருக்க விரும்பும் ஒரு விற்பனையாளரின் நடத்தையை கூர்ந்து கவனிப்போம். சமநிலையின் கரங்கள் a மற்றும் b நீளங்களைக் கொண்டிருக்கட்டும். ஒரு கிண்ணத்தில் ஒரு கிலோகிராம் எடையும் மற்றொன்றில் x சரக்குகளும் ஏற்றப்பட்டிருந்தால், கோடாரி = b முதல் முறை மற்றும் bx = a இரண்டாவது முறை எனில் செதில்கள் சமநிலையில் இருக்கும். எனவே, பொருட்களின் முதல் பகுதி b / a kg க்கு சமம், இரண்டாவது பகுதி a / b. நல்ல எடையில் a = b உள்ளது, எனவே வாங்குபவர் 2 கிலோ பொருட்களைப் பெறுவார். a ≠ b என்றால் என்ன நடக்கிறது என்று பார்ப்போம். பின்னர் a – b ≠ 0 மற்றும் குறைக்கப்பட்ட பெருக்கல் சூத்திரத்திலிருந்து

நாங்கள் எதிர்பாராத முடிவுக்கு வந்தோம்: இந்த வழக்கில் அளவீட்டை "சராசரியாக" மதிப்பிடுவதற்கான நியாயமான முறை, அதிக பொருட்களைப் பெறும் வாங்குபவரின் நன்மைக்காக செயல்படுகிறது.

உடற்பயிற்சி 5. (முக்கியமானது, கணிதத்தில் எந்த வகையிலும் இல்லை!). ஒரு கொசுவின் எடை 2,5 மில்லிகிராம், மற்றும் யானை ஐந்து டன் (இது மிகவும் சரியான தரவு). கொசு மற்றும் யானைகளின் (எடைகள்) எண்கணித சராசரி, வடிவியல் சராசரி மற்றும் ஹார்மோனிக் சராசரியைக் கணக்கிடுங்கள். கணக்கீடுகளைச் சரிபார்த்து, எண்கணிதப் பயிற்சிகளைத் தவிர அவை ஏதேனும் அர்த்தமுள்ளதா என்று பார்க்கவும். "நிஜ வாழ்க்கையில்" அர்த்தமில்லாத கணிதக் கணக்கீடுகளின் பிற எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம். உதவிக்குறிப்பு: இந்தக் கட்டுரையில் நாம் ஏற்கனவே ஒரு உதாரணத்தைப் பார்த்தோம். இணையத்தில் நான் கண்டறிந்த அநாமதேய மாணவரின் கருத்து சரியானது என்று இது அர்த்தப்படுத்துகிறதா: "கணிதம் எண்களைக் கொண்டு மக்களை முட்டாளாக்குகிறது"?

ஆம், கணிதத்தின் பிரம்மாண்டத்தில், நீங்கள் மக்களை "முட்டாளாக்க" முடியும் என்பதை நான் ஒப்புக்கொள்கிறேன் - ஒவ்வொரு வினாடியும் ஷாம்பு விளம்பரம் சில சதவிகிதம் பஞ்சுபோன்ற தன்மையை அதிகரிக்கிறது என்று கூறுகிறது. குற்றச் செயல்களுக்குப் பயன்படுத்தக்கூடிய பயனுள்ள அன்றாடக் கருவிகளின் வேறு உதாரணங்களைத் தேடுவோமா?

கிராம்கள்!

இந்த பத்தியின் தலைப்பு வினைச்சொல் (முதல் நபர் பன்மை) பெயர்ச்சொல் அல்ல (ஒரு கிலோகிராமின் ஆயிரத்தில் ஒரு பன்மை). ஹார்மனி என்பது ஒழுங்கையும் இசையையும் குறிக்கிறது. பண்டைய கிரேக்கர்களுக்கு, இசை அறிவியலின் ஒரு கிளையாக இருந்தது - நாம் அப்படிச் சொன்னால், "அறிவியல்" என்ற வார்த்தையின் தற்போதைய அர்த்தத்தை நமது சகாப்தத்திற்கு முந்தைய காலத்திற்கு மாற்றுகிறோம் என்பதை ஒப்புக் கொள்ள வேண்டும். பித்தகோரஸ் கிமு XNUMX ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்தார்.அவருக்கு கணினி, மொபைல் போன் மற்றும் மின்னஞ்சல் தெரியாது என்பது மட்டுமல்லாமல், ராபர்ட் லெவாண்டோவ்ஸ்கி, மீஸ்கோ I, சார்லமேக்னே மற்றும் சிசரோ யார் என்று அவருக்குத் தெரியாது. அவருக்கு அரபு அல்லது ரோமானிய எண்கள் கூட தெரியாது (அவை கிமு XNUMX ஆம் நூற்றாண்டில் பயன்பாட்டுக்கு வந்தன), பியூனிக் போர்கள் என்றால் என்ன என்று அவருக்குத் தெரியாது ... ஆனால் அவருக்கு இசை தெரியும் ...

சரம் கொண்ட கருவிகளில் அதிர்வு குணகங்கள் சரங்களின் அதிர்வுறும் பகுதிகளின் நீளத்திற்கு நேர்மாறான விகிதத்தில் இருப்பதை அவர் அறிந்திருந்தார். அவருக்குத் தெரியும், அவருக்குத் தெரியும், இன்று நாம் செய்யும் விதத்தை அவரால் வெளிப்படுத்த முடியாது.

ஒரு ஆக்டேவை உருவாக்கும் இரண்டு சர அதிர்வுகளின் அதிர்வெண்கள் 1:2 விகிதத்தில் உள்ளன, அதாவது உயர் குறிப்பின் அதிர்வெண் குறைந்த அதிர்வெண்ணின் இரு மடங்கு ஆகும். ஐந்தாவதுக்கான சரியான அதிர்வு விகிதம் 2:3, நான்காவது 3:4, தூய பெரிய மூன்றாவது 4:5, மைனர் மூன்றில் 5:6. இவை இனிமையான மெய் இடைவெளிகள். பின்னர் இரண்டு நடுநிலையானவை, அதிர்வு விகிதங்கள் 6:7 மற்றும் 7:8, பின்னர் அதிருப்தி கொண்டவை - ஒரு பெரிய தொனி (8:9), ஒரு சிறிய தொனி (9:10). இந்த பின்னங்கள் (விகிதங்கள்) கணிதவியலாளர்கள் (இந்த காரணத்திற்காகவே) ஹார்மோனிக் தொடர் என்று அழைக்கும் வரிசையின் தொடர்ச்சியான உறுப்பினர்களின் விகிதங்களைப் போன்றது:

கோட்பாட்டளவில் எல்லையற்ற தொகை. ஆக்டேவின் அலைவுகளின் விகிதத்தை 2:4 என எழுதலாம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையே ஐந்தில் ஒரு பகுதியை வைக்கலாம்: 2:3:4, அதாவது, ஆக்டேவை ஐந்தாவது மற்றும் நான்காவது என்று பிரிப்போம். இது கணிதத்தில் ஹார்மோனிக் பிரிவு பிரிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது:

அரிசி. 1. ஒரு இசைக்கலைஞருக்கு: ஆக்டேவ் ஏபி ஐ ஐந்தாவது ஏசியாகப் பிரித்தல்.கணிதவியலாளருக்கு: ஹார்மோனிக் பிரிவு

ஹார்மோனிக் தொடர் போன்ற கோட்பாட்டுரீதியாக எல்லையற்ற தொகையைப் பற்றி நான் (மேலே) பேசும்போது என்ன அர்த்தம்? அத்தகைய தொகை எந்த பெரிய எண்ணாகவும் இருக்கலாம் என்று மாறிவிடும், முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், நாம் நீண்ட காலமாக சேர்க்கிறோம். குறைவான மற்றும் குறைவான பொருட்கள் உள்ளன, ஆனால் அவற்றில் அதிகமானவை உள்ளன. என்ன நிலவும்? இங்கே நாம் கணித பகுப்பாய்வு மண்டலத்திற்குள் நுழைகிறோம். பொருட்கள் குறைந்துவிட்டன, ஆனால் மிக விரைவாக இல்லை என்று மாறிவிடும். போதுமான பொருட்களை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம், நான் தொகுக்க முடியும் என்பதைக் காண்பிப்பேன்:

தன்னிச்சையாக பெரியது. "உதாரணமாக" n = 1024 ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி வார்த்தைகளை தொகுக்கலாம்:

ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறிக்குள், ஒவ்வொரு வார்த்தையும் முந்தையதை விட அதிகமாக உள்ளது, நிச்சயமாக, கடைசியாக, தனக்குச் சமமாக இருக்கும். பின்வரும் அடைப்புக்குறிக்குள், எங்களிடம் 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 மற்றும் 512 கூறுகள் உள்ளன; ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள தொகையின் மதிப்பு ½ ஐ விட அதிகமாக உள்ளது. இவை அனைத்தும் 5½க்கு மேல். மிகவும் துல்லியமான கணக்கீடுகள் இந்த தொகை தோராயமாக 7,50918 என்று காண்பிக்கும். அதிகம் இல்லை, ஆனால் எப்பொழுதும், எந்த ஒரு பெரிய எண்ணையும் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம், நான் எந்த எண்ணையும் விஞ்ச முடியும் என்பதை நீங்கள் பார்க்கலாம். இது நம்பமுடியாத அளவிற்கு மெதுவாக உள்ளது (உதாரணமாக, நாங்கள் முதல் பத்து பொருட்களை மட்டும் கொண்டு), ஆனால் எல்லையற்ற வளர்ச்சி எப்போதும் கணிதவியலாளர்களை கவர்ந்துள்ளது.

ஹார்மோனிக் தொடருடன் முடிவிலிக்கு பயணம்

சில தீவிரமான கணிதத்திற்கான புதிர் இங்கே. எங்களிடம் வரம்பற்ற செவ்வகத் தொகுதிகள் (நான் என்ன சொல்ல முடியும், செவ்வக!) பரிமாணங்களைக் கொண்டுள்ளோம், அதாவது, 4 × 2 × 1. பலவற்றைக் கொண்ட அமைப்பைக் கவனியுங்கள் (ஆன் அத்தி. 2 - நான்கு) தொகுதிகள், முதலாவது அதன் நீளத்தின் ½ ஆல் சாய்ந்திருக்கும் வகையில் அமைக்கப்பட்டது, இரண்டாவது மேலே இருந்து ¼ மற்றும் பல, மூன்றாவது ஆறில் ஒரு பங்கு. சரி, ஒருவேளை அதை மிகவும் நிலையானதாக மாற்ற, முதல் செங்கலை கொஞ்சம் குறைவாக சாய்ப்போம். கணக்கீடுகளுக்கு இது முக்கியமில்லை.

அரிசி. 2. ஈர்ப்பு மையத்தை தீர்மானித்தல்

முதல் இரண்டு தொகுதிகள் (மேலே இருந்து எண்ணுதல்) கொண்ட உருவம் B புள்ளியில் சமச்சீர் மையத்தைக் கொண்டிருப்பதால், B என்பது ஈர்ப்பு மையம் என்பதையும் புரிந்துகொள்வது எளிது. மூன்று மேல் தொகுதிகள் கொண்ட அமைப்பின் ஈர்ப்பு மையத்தை வடிவியல் ரீதியாக வரையறுப்போம். மிக எளிமையான வாதம் இங்கே போதுமானது. மூன்று தொகுதி கலவையை இரண்டு மேல் மற்றும் மூன்றாவது கீழ் ஒன்றாக மனரீதியாகப் பிரிப்போம். இந்த மையம் இரண்டு பகுதிகளின் ஈர்ப்பு மையங்களை இணைக்கும் பிரிவில் இருக்க வேண்டும். இந்த அத்தியாயத்தில் எந்த கட்டத்தில்?

குறிக்க இரண்டு வழிகள் உள்ளன. முதலாவதாக, இந்த மையம் மூன்று-தடுப்பு பிரமிட்டின் நடுவில் இருக்க வேண்டும் என்ற கவனிப்பைப் பயன்படுத்துவோம், அதாவது, இரண்டாவது, நடுத்தரத் தொகுதியை வெட்டும் ஒரு நேர்கோட்டில். இரண்டாவது வழியில், இரண்டு மேல் தொகுதிகள் ஒரு ஒற்றைத் தொகுதி #3 (மேல்) இருமடங்கு நிறையைக் கொண்டிருப்பதால், இந்தப் பிரிவில் உள்ள ஈர்ப்பு மையம், மையத்தை விட இரண்டு மடங்கு B க்கு அருகில் இருக்க வேண்டும் என்பதை நாங்கள் புரிந்துகொள்கிறோம். மூன்றாவது தொகுதியின் எஸ். இதேபோல், அடுத்த புள்ளியைக் காண்கிறோம்: மூன்று தொகுதிகளின் மையத்தை நான்காவது தொகுதியின் மைய S உடன் இணைக்கிறோம். முழு அமைப்பின் மையமும் உயரம் 2 மற்றும் பிரிவை 1 முதல் 3 வரை (அதாவது, அதன் நீளத்தின் ¾ ஆல்) பிரிக்கும் புள்ளியில் உள்ளது.

இன்னும் சிறிது சிறிதாக நாம் மேற்கொள்ளும் கணக்கீடுகள் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள முடிவுக்கு வழிவகுக்கும். படம் 3. கீழ் தொகுதியின் வலது விளிம்பிலிருந்து தொடர்ச்சியான ஈர்ப்பு மையங்கள் அகற்றப்படுகின்றன:

எனவே, பிரமிட்டின் ஈர்ப்பு மையத்தின் முன்கணிப்பு எப்போதும் அடித்தளத்திற்குள் இருக்கும். கோபுரம் இடிக்காது. இப்போது பார்க்கலாம் அத்தி. 3 ஒரு கணம், மேலே இருந்து ஐந்தாவது தொகுதியை அடிப்படையாகப் பயன்படுத்துவோம் (பிரகாசமான நிறத்தில் குறிக்கப்பட்ட ஒன்று). மேல் சாய்ந்தவை:

இதனால், அதன் இடது விளிம்பு அடித்தளத்தின் வலது விளிம்பை விட 1 அதிகமாக உள்ளது. அடுத்த ஸ்விங் இதோ:

மிகப்பெரிய ஊஞ்சல் எது? எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்! பெரியது இல்லை! மிகச்சிறிய தொகுதிகளை எடுத்துக் கொண்டால், நீங்கள் ஒரு கிலோமீட்டர் தூரத்தை அடையலாம் - துரதிர்ஷ்டவசமாக, கணித ரீதியாக மட்டுமே: பல தொகுதிகளை உருவாக்க முழு பூமியும் போதுமானதாக இருக்காது!

அரிசி. 3. மேலும் தொகுதிகளைச் சேர்க்கவும்

இப்போது நாம் மேலே விட்ட கணக்கீடுகள். x அச்சில் அனைத்து தூரங்களையும் "கிடைமட்டமாக" கணக்கிடுவோம், ஏனென்றால் அதில் அவ்வளவுதான். புள்ளி A (முதல் தொகுதியின் ஈர்ப்பு மையம்) வலது விளிம்பிலிருந்து 1/2 ஆகும். புள்ளி B (இரண்டு தொகுதி அமைப்பின் மையம்) இரண்டாவது தொகுதியின் வலது விளிம்பிலிருந்து 1/4 தொலைவில் உள்ளது. தொடக்கப் புள்ளி இரண்டாவது தொகுதியின் முடிவாக இருக்கட்டும் (இப்போது நாம் மூன்றாவது இடத்திற்குச் செல்வோம்). எடுத்துக்காட்டாக, ஒற்றைத் தொகுதி #3 இன் ஈர்ப்பு மையம் எங்கே? இந்த தொகுதியின் பாதி நீளம், எனவே, இது எங்கள் குறிப்பு புள்ளியில் இருந்து 1/2 + 1/4 = 3/4 ஆகும். புள்ளி C எங்கே? 3/4 மற்றும் 1/4 க்கு இடையில் உள்ள பிரிவில் மூன்றில் இரண்டு பங்கு, அதாவது முந்தைய புள்ளியில், மூன்றாவது தொகுதியின் வலது விளிம்பிற்கு குறிப்பு புள்ளியை மாற்றுவோம். மூன்று-தடுப்பு அமைப்பின் ஈர்ப்பு மையம் இப்போது புதிய குறிப்பு புள்ளியிலிருந்து அகற்றப்பட்டது, மற்றும் பல. ஈர்ப்பு மையம் சி_n n தொகுதிகளால் ஆன ஒரு கோபுரம் உடனடி குறிப்பு புள்ளியிலிருந்து 1/2n தொலைவில் உள்ளது, இது அடிப்படைத் தொகுதியின் வலது விளிம்பாகும், அதாவது மேலிருந்து nவது தொகுதி.

பரஸ்பரத் தொடர் வேறுபடுவதால், எந்த பெரிய மாறுபாட்டையும் நாம் பெறலாம். இதை உண்மையில் செயல்படுத்த முடியுமா? இது முடிவற்ற செங்கல் கோபுரம் போன்றது - விரைவில் அல்லது பின்னர் அது அதன் சொந்த எடையின் கீழ் சரிந்துவிடும். எங்கள் திட்டத்தில், பிளாக் பிளேஸ்மெண்டில் உள்ள குறைந்தபட்சத் தவறுகள் (மற்றும் தொடரின் பகுதித் தொகைகளில் மெதுவாக அதிகரிப்பு) நாம் அதிக தூரம் செல்ல மாட்டோம்.