கணிதத்தின் உண்மையற்ற உலகில் பயணம்

கணினி அறிவியல் கல்லூரியில் விரிவுரை மற்றும் பயிற்சிக்குப் பிறகு, சூழலில் ஒன்றில் இந்தக் கட்டுரையை எழுதினேன். இந்தப் பள்ளியின் மாணவர்களின் விமர்சனங்கள், அவர்களின் அறிவு, அறிவியலுக்கான அணுகுமுறை மற்றும் மிக முக்கியமாக: கற்பித்தல் திறன் ஆகியவற்றிலிருந்து நான் என்னைப் பாதுகாத்துக் கொள்கிறேன். இதை... யாரும் அவர்களுக்குக் கற்பிப்பதில்லை.

நான் ஏன் இவ்வளவு தற்காப்புடன் இருக்கிறேன்? ஒரு எளிய காரணத்திற்காக - அநேகமாக, நம்மைச் சுற்றியுள்ள உலகம் இன்னும் புரிந்து கொள்ளப்படாத வயதில் நான் இருக்கிறேன். ஒருவேளை நான் அவர்களுக்குக் குதிரைகளைப் பொருத்தி அவிழ்க்கக் கற்றுக் கொடுக்கிறேனோ, கார் ஓட்டக் கூடாது? ஒரு வேளை குயில் பேனாவை வைத்து எழுத நான் அவர்களுக்குக் கற்றுக் கொடுக்கிறேனோ? ஒரு நபரைப் பற்றி எனக்கு சிறந்த கருத்து இருந்தாலும், நான் என்னை "பின்தொடர்பவன்" என்று கருதுகிறேன், ஆனால்...

சமீப காலம் வரை, உயர்நிலைப் பள்ளியில், அவர்கள் சிக்கலான எண்களைப் பற்றி பேசினர். இந்த புதன்கிழமைதான் நான் வீட்டிற்கு வந்தேன், வெளியேறினேன் - அது என்ன, இந்த எண்களை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதை மாணவர்கள் யாரும் இதுவரை கற்றுக்கொள்ளவில்லை. சிலர் அனைத்து கணிதத்தையும் வர்ணம் பூசப்பட்ட கதவில் வாத்து போல் பார்க்கிறார்கள். ஆனால் எப்படிக் கற்றுக்கொள்வது என்று அவர்கள் சொன்னபோது நான் உண்மையிலேயே ஆச்சரியப்பட்டேன். எளிமையாகச் சொன்னால், ஒரு விரிவுரையின் ஒவ்வொரு மணிநேரமும் இரண்டு மணிநேர வீட்டுப்பாடம்: ஒரு பாடப்புத்தகத்தைப் படிப்பது, கொடுக்கப்பட்ட தலைப்பில் சிக்கல்களை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வது போன்றவை. இந்த வழியில் தயாராகி, நாங்கள் பயிற்சிகளுக்கு வருகிறோம், அங்கு நாங்கள் எல்லாவற்றையும் மேம்படுத்துகிறோம் ... மகிழ்ச்சியுடன், மாணவர்கள், வெளிப்படையாக, விரிவுரையில் உட்கார்ந்து - பெரும்பாலும் ஜன்னலுக்கு வெளியே பார்ப்பது - ஏற்கனவே தலையில் அறிவு நுழைவதற்கு உத்தரவாதம் அளிக்கிறது.

நிறுத்து! இது போதும். நாடு முழுவதிலும் உள்ள திறமையான குழந்தைகளுக்கு ஆதரவளிக்கும் நிறுவனமான தேசிய குழந்தைகள் நிதியத்தின் கூட்டாளிகளுடன் ஒரு வகுப்பின் போது நான் பெற்ற கேள்விக்கான எனது பதிலை விவரிக்கிறேன். கேள்வி (அல்லது அதற்கு பதிலாக) இது:

— உண்மையற்ற எண்களைப் பற்றி ஏதாவது சொல்ல முடியுமா?

"நிச்சயமாக," நான் பதிலளித்தேன். 

எண்களின் உண்மை

"ஒரு நண்பர் மற்றொரு நான், நட்பு என்பது 220 மற்றும் 284 எண்களின் விகிதம்" என்று பிதாகரஸ் கூறினார். இங்கே புள்ளி என்னவென்றால், 220 என்ற எண்ணின் வகுப்பிகளின் கூட்டுத்தொகை 284, மற்றும் 284 என்ற எண்ணின் வகுப்பிகளின் கூட்டுத்தொகை 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

220 மற்றும் 284 எண்களுக்கு இடையே உள்ள மற்றொரு சுவாரஸ்யமான தற்செயல் இது: பதினேழு உயர்ந்த பகா எண்கள் 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , மற்றும் 59.

அவற்றின் கூட்டுத்தொகை 2x220, மற்றும் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை 59x284.

முதலில். "உண்மையான எண்" என்ற கருத்து இல்லை. யானைகளைப் பற்றிய ஒரு கட்டுரையைப் படித்துவிட்டு, "இப்போது நாங்கள் யானை அல்லாதவற்றைக் கேட்கப் போகிறோம்" என்று நீங்கள் கேட்கிறீர்கள். முழு மற்றும் முழுமையற்றவை, பகுத்தறிவு மற்றும் பகுத்தறிவற்றவை உள்ளன, ஆனால் உண்மையற்றவை இல்லை. குறிப்பாக: உண்மை இல்லாத எண்கள் செல்லாதவை என்று அழைக்கப்படுவதில்லை. கணிதத்தில் பல வகையான "எண்கள்" உள்ளன, அவை ஒன்றுக்கொன்று வேறுபடுகின்றன - ஒரு விலங்கியல் ஒப்பீடு எடுக்க - ஒரு யானை மற்றும் ஒரு மண்புழு.

இரண்டாவதாக, தடைசெய்யப்பட்டவை என்று நீங்கள் ஏற்கனவே அறிந்திருக்கக்கூடிய செயல்பாடுகளை நாங்கள் செய்வோம்: எதிர்மறை எண்களின் வர்க்க மூலங்களைப் பிரித்தெடுத்தல். சரி, கணிதம் அத்தகைய தடைகளை கடக்கும். இருந்தாலும் அர்த்தமிருக்கிறதா? வேறு எந்த அறிவியலைப் போலவே கணிதத்திலும், ஒரு கோட்பாடு அறிவுக் களஞ்சியத்தில் நிரந்தரமாக நுழைகிறதா என்பது... அதன் பயன்பாட்டைப் பொறுத்தது. அது பயனற்றதாக இருந்தால், அது குப்பையில், பின்னர் அறிவு வரலாற்றின் சில குப்பைகளில் முடிகிறது. இந்த கட்டுரையின் முடிவில் நான் பேசும் எண்கள் இல்லாமல், கணிதத்தை உருவாக்குவது சாத்தியமில்லை. ஆனால் சில சிறிய விஷயங்களுடன் ஆரம்பிக்கலாம். உண்மையான எண்கள் என்றால் என்ன, உங்களுக்குத் தெரியும். அவை எண் கோட்டை அடர்த்தியாகவும் இடைவெளி இல்லாமல் நிரப்புகின்றன. இயற்கை எண்கள் என்னவென்று உங்களுக்குத் தெரியும்: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - இவை அனைத்தும் பொருந்தாது. நினைவாற்றல் கூட பெரியது. அவர்களுக்கு ஒரு அழகான பெயர் உள்ளது: இயற்கை. அவற்றில் பல சுவாரஸ்யமான பண்புகள் உள்ளன. நீங்கள் இதை எப்படி விரும்புகிறீர்கள்:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

"இயற்கை எண்களில் ஆர்வம் காட்டுவது இயற்கையானது," என்று கார்ல் லிண்டன்ஹோம் கூறினார், மற்றும் லியோபோல்ட் க்ரோனெக்கர் (1823-1891) அதை சுருக்கமாக கூறினார்: "இயற்கை எண்களை கடவுள் படைத்தார் - மற்ற அனைத்தும் மனிதனின் செயல்!" பின்னங்கள் (கணித வல்லுநர்களால் பகுத்தறிவு எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன) அற்புதமான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன:

மற்றும் சமத்துவத்தில்:

நீங்கள், இடது பக்கத்திலிருந்து தொடங்கி, பிளஸ்களைத் தேய்த்து, அவற்றைப் பெருக்கல் அடையாளங்களுடன் மாற்றலாம் - மேலும் சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்:

அதனால் தான்.

உங்களுக்குத் தெரியும், a/b என்ற பின்னங்களுக்கு, a மற்றும் b ஆகியவை முழு எண்களாகவும், b ≠ 0 ஆகவும் இருக்கும். பகுத்தறிவு எண். ஆனால் போலிஷ் மொழியில் மட்டுமே அவர்கள் தங்களை அப்படி அழைக்கிறார்கள். அவர்கள் ஆங்கிலம், பிரஞ்சு, ஜெர்மன் மற்றும் ரஷ்ய மொழி பேசுகிறார்கள். பகுத்தறிவு எண். ஆங்கிலத்தில்: பகுத்தறிவு எண்கள். விகிதாசார எண்கள் அது பகுத்தறிவற்றது, பகுத்தறிவற்றது. பகுத்தறிவற்ற கோட்பாடுகள், யோசனைகள் மற்றும் செயல்கள் பற்றி நாங்கள் போலிஷ் பேசுகிறோம் - இது பைத்தியம், கற்பனை, விவரிக்க முடியாதது. பெண்கள் எலிகளுக்குப் பயப்படுகிறார்கள் என்று சொல்கிறார்கள் - அவ்வளவு பகுத்தறிவு இல்லையா?

பண்டைய காலங்களில், எண்களுக்கு ஆன்மா இருந்தது. ஒவ்வொன்றும் எதையாவது குறிக்கின்றன, ஒவ்வொன்றும் எதையாவது குறிக்கின்றன, ஒவ்வொன்றும் பிரபஞ்சத்தின் அந்த நல்லிணக்கத்தின் ஒரு துகளை பிரதிபலிக்கின்றன, அதாவது கிரேக்கத்தில், காஸ்மோஸ். "காஸ்மோஸ்" என்ற வார்த்தைக்கு சரியாக "ஒழுங்கு, ஒழுங்கு" என்று பொருள். மிக முக்கியமானவை ஆறு (சரியான எண்) மற்றும் பத்து, தொடர்ச்சியான எண்களின் கூட்டுத்தொகை 1+2+3+4, மற்ற எண்களால் ஆனது, அதன் குறியீடு இன்றுவரை நிலைத்திருக்கிறது. எனவே பித்தகோரஸ் எண்கள் எல்லாவற்றின் தொடக்கமும் ஆதாரமும் என்றும், கண்டுபிடிப்பு மட்டுமே என்றும் கற்பித்தார் பகுத்தறிவற்ற எண்கள் பித்தகோரியன் இயக்கத்தை வடிவவியலை நோக்கி திருப்பினார். பள்ளியிலிருந்தே நமக்குத் தெரியும்

√2 என்பது ஒரு விகிதாசார எண்

உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்: மற்றும் இந்த பின்னத்தை குறைக்க முடியாது. குறிப்பாக, p மற்றும் q இரண்டும் ஒற்றைப்படை. சதுரம்: 2q²=p². p என்ற எண்ணானது ஒற்றைப்படையாக இருக்க முடியாது, அதிலிருந்து p² மேலும் சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தில் 2 இன் பெருக்கல் உள்ளது. எனவே, p என்பது சமமானது, அதாவது p = 2r, எனவே p²= 4 ஆர்². சமன்பாடு 2q ஐ குறைக்கிறோம்²= 4 ஆர்² மூலம் 2. நாம் q ஐப் பெறுகிறோம்²= 2 ஆர்² மேலும் q என்பதும் சமமாக இருக்க வேண்டும் என்று நாம் கருதுகிறோம், அது அவ்வாறு இல்லை. இதன் விளைவாக வரும் முரண்பாடு நிரூபணத்தை நிறைவு செய்கிறது - இந்த சூத்திரத்தை ஒவ்வொரு கணித புத்தகத்திலும் அடிக்கடி காணலாம். இந்த சூழ்நிலை ஆதாரம் சோஃபிஸ்டுகளின் விருப்பமான தந்திரம்.

இந்த அபரிமிதத்தை பித்தகோரியர்களால் புரிந்து கொள்ள முடியவில்லை. எல்லாவற்றையும் எண்களால் விவரிக்க முடியும், மேலும் ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டமானது, மணலின் குறுக்கே ஒரு குச்சியால் வரைய முடியும், அதாவது அளவிடக்கூடிய நீளம் இல்லை. "எங்கள் நம்பிக்கை வீணானது," என்று பித்தகோரியர்கள் சொல்வது போல் தெரிகிறது. எப்படி? இது ஒரு வகை... பகுத்தறிவற்றது. யூனியன் குறுங்குழுவாத முறைகளால் தன்னைக் காப்பாற்றிக் கொள்ள முயன்றது. தங்கள் இருப்பை வெளிப்படுத்தத் துணிந்த எவரும் பகுத்தறிவற்ற எண்கள், மரண தண்டனை விதிக்கப்பட வேண்டும், மற்றும், வெளிப்படையாக, முதல் தண்டனையை மாஸ்டர் தானே நிறைவேற்றினார்.

ஆனால், "சிந்தனை தீராமல் கடந்து சென்றது." பொற்காலம் வந்துவிட்டது. கிரேக்கர்கள் பெர்சியர்களை தோற்கடித்தனர் (மராத்தான் 490, பிளாக் 479). ஜனநாயகம் பலப்படுத்தப்பட்டது, புதிய தத்துவ சிந்தனை மையங்கள் மற்றும் புதிய பள்ளிகள் எழுந்தன. பித்தகோரியன்கள் இன்னும் விகிதாசார எண்களுடன் போராடிக் கொண்டிருந்தனர். சிலர் உபதேசித்தார்கள்: இந்த மர்மத்தை நாம் புரிந்துகொள்ள மாட்டோம்; Uncharted பற்றி மட்டுமே நாம் சிந்திக்கவும் வியக்கவும் முடியும். பிந்தையவர்கள் மிகவும் நடைமுறைக்குரியவர்கள் மற்றும் மர்மத்தை மதிக்கவில்லை. அந்த நேரத்தில், பகுத்தறிவற்ற எண்களைப் புரிந்துகொள்வதற்கு இரண்டு மன கட்டுமானங்கள் தோன்றின. இன்று நாம் அவற்றை நன்கு புரிந்துகொள்வது யூடாக்ஸஸுக்கு (கிமு XNUMX ஆம் நூற்றாண்டு) சொந்தமானது, மேலும் XNUMX ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில்தான் ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ரிச்சர்ட் டெட்கிண்ட் யூடோக்சஸின் கோட்பாட்டிற்கு கடுமையான தேவைகளுக்கு ஏற்ப சரியான வளர்ச்சியைக் கொடுத்தார். கணித தர்க்கம்.

உருவங்கள் அல்லது சித்திரவதைகள்

எண்கள் இல்லாமல் வாழ முடியுமா? வாழ்க்கை எப்படியிருந்தாலும் சரி... முன்பெல்லாம் காலின் நீளத்தை அளந்த குச்சியைக் கொண்டு காலணி வாங்க கடைக்குப் போக வேண்டும். "எனக்கு ஆப்பிள்கள் வேண்டும், ஆ, இதோ!" - சந்தையில் விற்பனையாளர்களைக் காண்பிப்போம். "மோட்லினிலிருந்து நோவி டுவர் மசோவிக்கிக்கு எவ்வளவு தூரம்"? "மிக அருகில்!"

எண்கள் அளவிட பயன்படுகிறது. அவர்களின் உதவியுடன், நாங்கள் பல கருத்துக்களை வெளிப்படுத்துகிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, வரைபடத்தின் அளவு நாட்டின் பரப்பளவு எவ்வளவு குறைந்துள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. இரண்டு முதல் ஒன்று அளவுகோல், அல்லது வெறுமனே 2, ஏதோ ஒன்று அளவு இரட்டிப்பாக்கப்பட்டுள்ளது என்ற உண்மையை வெளிப்படுத்துகிறது. கணித ரீதியாக சொல்லலாம்: ஒவ்வொரு ஒருமைப்பாடும் ஒரு எண்ணுக்கு ஒத்திருக்கிறது - அதன் அளவு.

பணி. படத்தைப் பலமுறை பெரிதாக்கி ஜெரோகிராஃபிக் நகலை உருவாக்கினோம். பின்னர் பெரிதாக்கப்பட்ட துண்டு மீண்டும் b முறை பெரிதாக்கப்பட்டது. பொதுவான உருப்பெருக்கம் அளவுகோல் என்ன? பதில்: a × b ஆல் பெருக்கப்படுகிறது. இந்த அளவுகள் பெருக்கப்பட வேண்டும். "மைனஸ் ஒன்" எண், -1, மையமாக இருக்கும், அதாவது 180 டிகிரி சுழற்றப்பட்ட ஒரு துல்லியத்துடன் ஒத்துள்ளது. 90 டிகிரி திருப்பத்திற்கு எந்த எண் பொருந்தும்? அத்தகைய எண் இல்லை. அது, அது... அல்லது அது விரைவில் இருக்கும். தார்மீக சித்திரவதைக்கு நீங்கள் தயாரா? தைரியமாக இருந்து மைனஸ் ஒன்றின் வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். நான் கேட்கிறேன்? உன்னால் என்ன முடியாது? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, நான் தைரியமாக இரு என்று சொன்னேன். அதை வெளியே இழு! ஏய், சரி, இழு, இழு... நான் உதவுகிறேன்... இங்கே: -1 இப்போது நம்மிடம் உள்ளது, அதைப் பயன்படுத்த முயற்சிப்போம்... நிச்சயமாக, இப்போது எல்லா எதிர்மறை எண்களின் வேர்களையும் பிரித்தெடுக்கலாம். உதாரணமாக.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"மன வேதனையைப் பொருட்படுத்தாமல், அது ஏற்படுத்தும்." ஜிரோலாமோ கார்டானோ 1539 இல் எழுதியது, அதனுடன் தொடர்புடைய மனக் கஷ்டங்களைக் கடக்க முயன்றது - இது விரைவில் அழைக்கப்பட்டது - கற்பனை அளவுகள். அவன் இவற்றை எண்ணினான்...

...பணி. 10 ஐ இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கவும், அதன் தயாரிப்பு 40 ஆகும். முந்தைய அத்தியாயத்திலிருந்து அவர் இப்படி எழுதியது எனக்கு நினைவிருக்கிறது: நிச்சயமாக சாத்தியமற்றது. இருப்பினும், இதைச் செய்வோம்: 10 ஐ இரண்டு சம பாகங்களாகப் பிரிக்கவும், ஒவ்வொன்றும் 5 க்கு சமம். அவற்றைப் பெருக்கவும் - அது 25 ஆக மாறியது. இதன் விளைவாக வரும் 25 இலிருந்து, இப்போது 40 ஐக் கழிக்கவும், நீங்கள் விரும்பினால் -15 கிடைக்கும். இப்போது பாருங்கள்: √-15 ஐ கூட்டி, 5ல் இருந்து கழித்தால் 40 இன் பலன் கிடைக்கும். இவை 5-√-15 மற்றும் 5 + √-15 எண்கள். முடிவின் சரிபார்ப்பு பின்வருமாறு கார்டானோவால் மேற்கொள்ளப்பட்டது:

“இதய வலியைப் பொருட்படுத்தாமல், 5 + √-15 ஐ 5-√-15 ஆல் பெருக்கவும். நாம் 25 - (-15) பெறுகிறோம், இது 25 + 15 க்கு சமம். எனவே, தயாரிப்பு 40 .... இது மிகவும் கடினம்."

சரி, எவ்வளவு: (1 + √-1) (1-√-1)? பெருக்குவோம். √-1 × √-1 = -1 என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். நன்று. இப்போது மிகவும் கடினமான பணி: a + b√-1 இலிருந்து ab√-1 வரை. என்ன நடந்தது? நிச்சயமாக, இப்படி: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

இதில் என்ன சுவாரஸ்யமானது? உதாரணமாக, நாம் "முன்பு தெரியாத" வெளிப்பாடுகளை காரணியாக்க முடியும். சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரம்²-b² அதற்கான சூத்திரம் உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா²+b² அது இல்லை, ஏனெனில் அது இருக்க முடியாது. உண்மையான எண்களின் களத்தில், பல்லுறுப்புக்கோவை²+b² அது தவிர்க்க முடியாதது. ஐ எழுத்துடன் "மைனஸ் ஒன்" இன் "எங்கள்" வர்க்க மூலத்தைக் குறிப்போம்.²= -1. இது ஒரு "உண்மையற்ற" முதன்மை எண். அதுவே ஒரு விமானத்தின் 90 டிகிரி திருப்பத்தை விவரிக்கிறது. ஏன்? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக,²= -1, மற்றும் ஒரு 90 டிகிரி சுழற்சியையும் மற்றொரு 180 டிகிரி சுழற்சியையும் இணைத்தால் 45 டிகிரி சுழற்சி கிடைக்கும். எந்த வகையான சுழற்சி விவரிக்கப்படுகிறது? வெளிப்படையாக XNUMX டிகிரி திருப்பம். -ஐ என்றால் என்ன? இது இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானது:

(-நான்)² = -i × (-i) = +i² = -1

எனவே -i 90 டிகிரி சுழற்சியை விவரிக்கிறது, ஐயின் சுழற்சியின் எதிர் திசையில். எது இடது, எது வலது? நீங்கள் ஒரு சந்திப்பைச் செய்ய வேண்டும். நான் எண்ணானது கணிதவியலாளர்கள் நேர்மறையாகக் கருதும் திசையில் ஒரு சுழற்சியைக் குறிப்பிடுகிறது: எதிரெதிர் திசையில். எண் -i சுட்டிகள் நகரும் திசையில் சுழற்சியை விவரிக்கிறது.

ஆனால் i மற்றும் -i போன்ற எண்கள் உள்ளதா? உள்ளன! நாம் தான் அவர்களுக்கு உயிர் கொடுத்தோம். நான் கேட்கிறேன்? அவை நம் தலையில் மட்டும் இருப்பதாகவா? சரி என்ன எதிர்பார்க்க வேண்டும்? மற்ற எல்லா எண்களும் நம் மனதில் மட்டுமே உள்ளன. புதிதாகப் பிறந்தவர்களின் எண்ணிக்கை உயிர்வாழுமா என்று பார்க்க வேண்டும். இன்னும் துல்லியமாக, வடிவமைப்பு தர்க்கரீதியானதா மற்றும் அவை ஏதாவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். எல்லாம் ஒழுங்காக உள்ளது மற்றும் இந்த புதிய எண்கள் உண்மையில் உதவியாக இருக்கும் என்று என் வார்த்தையை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். 3+i, 5-7i போன்ற எண்கள் பொதுவாக: a+bi கலப்பு எண்கள் எனப்படும். விமானத்தை சுழற்றுவதன் மூலம் அவற்றை எவ்வாறு பெறுவது என்பதை நான் உங்களுக்குக் காட்டினேன். அவற்றை வெவ்வேறு வழிகளில் உள்ளிடலாம்: ஒரு விமானத்தில் புள்ளிகளாக, சில பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக, சில வகையான எண் வரிசைகளாக ... மற்றும் ஒவ்வொரு முறையும் அவை ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்: சமன்பாடு x² +1=0 எந்த உறுப்பும் இல்லை... hocus pocus ஏற்கனவே உள்ளது!!!! மகிழ்ந்து மகிழ்வோம்!!!

சுற்றுப்பயணத்தின் முடிவு

போலி எண்களின் நாட்டிற்கான எங்கள் முதல் சுற்றுப்பயணம் இது முடிவடைகிறது. பிற அமானுஷ்ய எண்களில், எண்ணற்ற எண்களைக் கொண்ட எண்களைக் குறிப்பிடுவேன், பின்னால் அல்ல (அவை 10-ஆடிக் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, எங்களுக்கு p-adic மிகவும் முக்கியமானது, இங்கு p என்பது பிரதான எண்), உதாரணம் X = ... ... ... 96109004106619977392256259918212890625

தயவுசெய்து X எண்ணுவோம்². ஏனெனில்? எண்ணின் வர்க்கத்தை எண்ணி எண்ணற்ற இலக்கங்களைக் கணக்கிட்டால் என்ன செய்வது? சரி, அதையே செய்வோம். x என்பதை நாம் அறிவோம்² = எச்.

சமன்பாட்டை திருப்திபடுத்தும் எண்ணற்ற எண்ணை எண்ணி எண்ணைக் கொண்ட மற்றொரு எண்ணைக் கண்டுபிடிப்போம். குறிப்பு: ஆறில் முடிவடையும் எண்ணின் வர்க்கமும் ஆறில் முடிகிறது. 76ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம் 76ல் முடிவடைகிறது.376ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம் 376ல் முடிகிறது. 9376 இல்… மிகவும் சிறிய எண்களும் உள்ளன, அவை நேர்மறையாக இருப்பதால், மற்ற நேர்மறை எண்ணை விட சிறியதாக இருக்கும். அவை மிகவும் சிறியவை, சில சமயங்களில் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற சதுரமாக இருந்தால் போதும். a × b = b × a நிபந்தனையைப் பூர்த்தி செய்யாத எண்கள் உள்ளன. எண்ணற்ற எண்களும் உள்ளன. எத்தனை இயற்கை எண்கள் உள்ளன? எண்ணற்ற பல? ஆம், ஆனால் எவ்வளவு? இதை எப்படி எண்ணாக வெளிப்படுத்த முடியும்? பதில்: எல்லையற்ற எண்களில் சிறியது; இது ஒரு அழகான எழுத்துடன் குறிக்கப்பட்டுள்ளது: A மற்றும் பூஜ்ஜிய குறியீட்டுடன் A உடன் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது₀ , அலெஃப்-பூஜ்யம்.

எங்களுக்குத் தெரியாத எண்களும் உள்ளன... அல்லது உங்கள் விருப்பப்படி நீங்கள் நம்பலாம் அல்லது நம்பலாம். மேலும் இது போன்றவற்றைப் பற்றி பேசுகையில்: நீங்கள் இன்னும் அன்ரியல் எண்கள், பேண்டஸி இனங்கள் எண்களை விரும்புவீர்கள் என்று நம்புகிறேன்.