நாம் ஏன் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கக்கூடாது?

நான் ஏன் முழு கட்டுரையையும் இப்படி ஒரு சாதாரணமான பிரச்சினைக்கு ஒதுக்குகிறேன் என்று வாசகர்கள் ஆச்சரியப்படலாம்? என்ற பெயரில் நிதானமாக ஆபரேஷன் செய்யும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை(!) திகைக்க வைக்கிறது. மற்றும் மாணவர்கள் மட்டுமல்ல. சில நேரங்களில் நான் பிடித்து ஆசிரியர்கள். அத்தகைய ஆசிரியர்களின் மாணவர்கள் கணிதத்தில் என்ன செய்ய முடியும்? இந்த உரையை எழுதுவதற்கான உடனடி காரணம் பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல் ஒரு பிரச்சனையில்லாத ஆசிரியருடன் உரையாடல் ...

பூஜ்ஜியத்துடன், ஆம், ஒன்றுமில்லை என்ற தொந்தரவைத் தவிர, அன்றாட வாழ்க்கையில் நாம் உண்மையில் அதைப் பயன்படுத்த வேண்டிய அவசியமில்லை. பூஜ்ஜிய முட்டைக்காக நாங்கள் கடைக்குச் செல்வதில்லை. "அறையில் ஒரு நபர் இருக்கிறார்" என்பது எப்படியோ இயற்கையாகவே ஒலிக்கிறது, மேலும் "பூஜ்ஜிய மக்கள்" செயற்கையாக ஒலிக்கிறது. பூஜ்ஜியம் மொழி அமைப்புக்கு வெளியே உள்ளது என்று மொழியியலாளர்கள் கூறுகிறார்கள்.

வங்கிக் கணக்குகளிலும் பூஜ்ஜியம் இல்லாமல் செய்யலாம்: நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கு - ஒரு தெர்மோமீட்டரைப் போலவே - சிவப்பு மற்றும் நீலத்தைப் பயன்படுத்தவும் (வெப்பநிலைக்கு நேர்மறை எண்களுக்கு சிவப்பு நிறத்தைப் பயன்படுத்துவது இயற்கையானது என்பதை நினைவில் கொள்க, மேலும் வங்கிக் கணக்குகளுக்கு இது இதற்கு நேர்மாறானது, ஏனெனில் பற்று எச்சரிக்கையைத் தூண்ட வேண்டும், எனவே சிவப்பு மிகவும் பரிந்துரைக்கப்படுகிறது).

பூஜ்ஜியத்தை இயற்கை எண்ணாகச் சேர்ப்பதன் மூலம், வேறுபாட்டின் சிக்கலைத் தொடுகிறோம் கார்டினல் எண்கள் od வீட்டு. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

எண்ணின் சக்தி அது நிற்கும் இடத்தின் எண்ணைப் போலவே இருக்கும். இல்லையெனில், இது ஏற்கனவே 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….. வரிசையில் உள்ளது.

சிங்கிள்டன் செட்டுகளின் எண்ணிக்கை இரண்டாவதாக வருகிறது, இரண்டு உறுப்புகளைக் கொண்ட தொகுப்புகளின் எண்ணிக்கை மூன்றாவது வருகிறது, மற்றும் பல. எடுத்துக்காட்டாக, போட்டிகளில் விளையாட்டு வீரர்களின் இடங்களை புதிதாக ஏன் எண்ணுவதில்லை என்பதை நாம் விளக்க வேண்டும். பின்னர் முதல் இடத்தைப் பெறுபவர் வெள்ளிப் பதக்கம் (தங்கம் பூஜ்ஜிய இடத்தைப் பெறுபவருக்குச் சென்றது) மற்றும் பலவற்றைப் பெறுவார்கள். இதேபோன்ற நடைமுறை கால்பந்தில் பயன்படுத்தப்பட்டது - "லீக் ஒன்" என்பது வாசகர்களுக்குத் தெரியுமா என்று எனக்குத் தெரியவில்லை. சிறந்ததைப் பின்பற்றுகிறது." ", மற்றும் ஜீரோ லீக் "மேஜர் லீக்" ஆக அழைக்கப்படுகிறது.

சில சமயங்களில் ஐடி ஆட்களுக்கு வசதியாக இருப்பதால், புதிதாக ஆரம்பிக்க வேண்டும் என்ற வாதத்தை கேட்கிறோம். இந்த பரிசீலனைகளைத் தொடர்ந்து, ஒரு கிலோமீட்டரின் வரையறை மாற்றப்பட வேண்டும் - அது 1024 மீ ஆக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் இது ஒரு கிலோபைட்டில் உள்ள பைட்டுகளின் எண்ணிக்கை (கணினி விஞ்ஞானிகளுக்குத் தெரிந்த ஒரு நகைச்சுவையை நான் குறிப்பிடுகிறேன்: "ஒரு புதியவருக்கு என்ன வித்தியாசம் மற்றும் ஒரு கணினி அறிவியல் மாணவர் மற்றும் இந்த பீடத்தின் ஐந்தாம் ஆண்டு மாணவர்? ஒரு கிலோபைட் 1000 கிலோபைட், கடைசி - ஒரு கிலோமீட்டர் 1024 மீட்டர்")!

மற்றொரு பார்வை, இது ஏற்கனவே தீவிரமாக எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும்: நாங்கள் எப்போதும் புதிதாக அளவிடுகிறோம்! ஆட்சியாளரில், வீட்டுத் தராசில், கடிகாரத்தில் கூட எந்த அளவுகோலைப் பார்த்தாலும் போதும். நாம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து அளவிடுவதால், எண்ணுவதை ஒரு பரிமாணமற்ற அலகு கொண்ட அளவீடு என்று புரிந்து கொள்ள முடியும், பின்னர் நாம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து எண்ண வேண்டும்.

இது ஒரு எளிய விஷயம், ஆனால் ...

பொதுவான காரணத்தை விட்டுவிட்டு பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தலுக்கு வருவோம். விஷயம் எளிமையானது, அது இல்லாவிட்டால் எளிமையாக இருக்கும் ... அதனால் என்ன? சிந்தித்து முயற்சிப்போம். அது எவ்வளவு இருக்க முடியும் - ஒன்று பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கப்படுகிறது? பார்ப்போம்: 1/0 = x. இடது பக்கத்தின் வகுப்பினால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்கவும்.

நமக்கு 1=0 கிடைக்கும். என்னமோ தவறாக உள்ளது! என்ன நடந்தது? ஆ யூகிக்கிறேன்! ஒற்றுமை மற்றும் பூஜ்ஜியத்தின் ஒரு பங்கு உள்ளது என்ற அனுமானம் ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது. மேலும் ஒன்றை பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியாவிட்டால், மற்றொரு எண்ணால் முடியும். வாசகரே, நீங்கள் தோள்களைக் குலுக்கி, ஆசிரியர் (அதாவது, நான்) ஏன் இப்படிப்பட்ட தந்திரங்களைப் பற்றி எழுதுகிறார் என்று ஆச்சரியப்பட்டால், நான் மிகவும் மகிழ்ச்சியடைகிறேன்!

0/0 = 0 சூத்திரம் ஒரு பிடிவாதமான அடிப்படையில் பாதுகாக்கப்படலாம், ஆனால் அது ஒரு எண்ணை தானே பிரிப்பதன் விளைவு ஒன்றுக்கு சமம் என்ற விதிக்கு முரணானது. முற்றிலும், ஆனால் முற்றிலும் வேறுபட்ட குறியீடுகள் 0/0, °/° மற்றும் கால்குலஸில் போன்றவை. அவை எந்த எண்ணையும் குறிக்கவில்லை, ஆனால் சில வகைகளின் குறிப்பிட்ட வரிசைகளுக்கான குறியீட்டு பெயர்கள்.

ஒரு மின் பொறியியல் புத்தகத்தில், நான் ஒரு சுவாரஸ்யமான ஒப்பீட்டைக் கண்டேன்: பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல் உயர் மின்னழுத்த மின்சாரத்தைப் போலவே ஆபத்தானது. இது இயல்பானது: ஓம் விதியானது மின்னழுத்தத்திற்கும் மின்தடைக்கும் இடையிலான விகிதம் மின்னோட்டத்திற்கு சமம் என்று கூறுகிறது: V = U / R. எதிர்ப்பு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், கோட்பாட்டளவில் எல்லையற்ற மின்னோட்டம் கடத்தி வழியாக பாயும், சாத்தியமான அனைத்து கடத்திகளையும் எரிக்கும்.

வாரத்தின் ஒவ்வொரு நாளும் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கும் ஆபத்து பற்றி ஒருமுறை நான் ஒரு கவிதை எழுதினேன். மிகவும் வியத்தகு நாள் வியாழக்கிழமை என்பதை நான் நினைவில் கொள்கிறேன், ஆனால் இந்த பகுதியில் எனது எல்லா வேலைகளுக்கும் இது ஒரு பரிதாபம்.

எதையாவது பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தால்

திங்கட்கிழமை மிக அதிகாலை

வாரம் என்ன நடந்தது

நீங்கள் ஏற்கனவே படுதோல்வி அடைந்துவிட்டீர்கள்.

செவ்வாய்க்கிழமை மதியம் போது

நீங்கள் பூஜ்ஜியத்தை வகுப்பில் வைத்தீர்கள்

நான் அப்போது சொல்கிறேன், நீங்கள் சொல்வது தவறு

மோசமான கணிதமேதை!

பூஜ்ஜியத்தின் மூலம், வக்கிரத்தின் மூலம்,

புதன்கிழமை பிரிக்க வேண்டும்

நீங்கள் மிகவும் சிரமப்படுவீர்கள்

உங்கள் தலையில் வைக்கோலும் தண்ணீரும் இருக்கிறது!

ஒரு குறிப்பிட்ட பார்டெக் எங்களுடன் இருந்தார்.

அவர் விதிகளுக்கு முரணாக இருந்தார்.

வியாழன் அன்று பூஜ்ஜியத்தால் வகுபடும்.

அவர் நம்மிடையே இல்லை!

ஒரு விசித்திரமான ஆசை உங்களைப் பிடித்தால்

வெள்ளிக்கிழமை பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கவும்

நான் நேர்மையாக இருப்பேன், நேர்மையாக இருப்பேன்:

இந்த வார இறுதியில் மோசமான ஆரம்பம்.

அது பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது, ​​சனிக்கிழமை எங்காவது

பிரிப்பான் உங்களுடையதாக இருக்கும் (தைரியமாக இல்லை)

தேவாலய வேலியின் கீழ் மண்டியிடவும்.

இது உங்கள் உயிர்த்தெழுதல்.

கோட்டின் கீழ் பூஜ்ஜியம் வேண்டுமா,

ஞாயிற்றுக்கிழமை விடுமுறை அளிக்கவும்

சுண்ணாம்பு, கருப்பு பலகை கொண்டு வாருங்கள்.

எழுதுங்கள்: இது பூஜ்ஜியத்தால் வகுபடாது!

பூஜ்யம் வெறுமை மற்றும் ஒன்றுமில்லாமல் தொடர்புடையது. உண்மையில், அவர் கணிதத்திற்கு வந்தார், எந்த ஒரு அளவிலும் சேர்த்தால், அதை மாற்றாது: x + 0 = x. ஆனால் இப்போது பூஜ்ஜியம் வேறு பல மதிப்புகளில் தோன்றுகிறது, குறிப்பாக அளவிலான தொடக்கம். சாளரத்திற்கு வெளியே நேர்மறை வெப்பநிலை அல்லது உறைபனி இல்லை என்றால், இது பூஜ்ஜியம், இது வெப்பநிலை இல்லை என்று அர்த்தமல்ல. பூஜ்ஜிய வகுப்பு நினைவுச்சின்னம் என்பது நீண்ட காலமாக இடிக்கப்பட்ட மற்றும் வெறுமனே இல்லாத ஒன்றல்ல. மாறாக, இது வாவல், ஈபிள் கோபுரம் மற்றும் சுதந்திர சிலை போன்றது.

சரி, ஒரு நிலை அமைப்பில் பூஜ்ஜியத்தின் முக்கியத்துவத்தை மிகைப்படுத்தி மதிப்பிட முடியாது. பில் கேட்ஸின் வங்கிக் கணக்கில் எத்தனை பூஜ்ஜியங்கள் உள்ளன என்பது உங்களுக்குத் தெரியுமா வாசகரே? எனக்குத் தெரியாது, ஆனால் நான் பாதியை விரும்புகிறேன். வெளிப்படையாக, நெப்போலியன் போனபார்டே மக்கள் பூஜ்ஜியங்களைப் போன்றவர்கள் என்பதைக் கவனித்தார்: அவர்கள் நிலைப்பாட்டின் மூலம் அர்த்தத்தைப் பெறுகிறார்கள். Andrzej Wajda இன் திரைப்படமான As the Years, As the Days Go by, உணர்ச்சிமிக்க கலைஞர் ஜெர்சி வெடிக்கிறார்: "Philistine is zero, nihil, nothing, nothing, nihil, zero." ஆனால் பூஜ்ஜியம் நன்றாக இருக்கலாம்: "விதிமுறையிலிருந்து பூஜ்ஜிய விலகல்" என்பது எல்லாம் நன்றாக நடக்கிறது என்று அர்த்தம், அதைத் தொடருங்கள்!

மீண்டும் கணிதத்திற்கு வருவோம். பூஜ்ஜியத்தைக் கூட்டலாம், கழிக்கலாம், பெருக்கலாம். "நான் பூஜ்ஜிய கிலோகிராம் பெற்றேன்," மான்யா அன்யாவிடம் கூறுகிறார். "இது சுவாரஸ்யமானது, ஏனென்றால் நான் அதே எடையை இழந்தேன்" என்று அன்யா பதிலளித்தார். எனவே ஆறு முறை ஐஸ்கிரீமை ஆறு பூஜ்ஜியமாக சாப்பிடுவோம், அது நம்மை பாதிக்காது.

பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியாது, ஆனால் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியும். உணவுக்காகக் காத்திருப்பவர்களுக்கு ஒரு தட்டு பூஜ்ஜிய உருண்டைகளை எளிதாகக் கொடுக்கலாம். ஒவ்வொருவருக்கும் எவ்வளவு கிடைக்கும்?

பூஜ்யம் நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை அல்ல. இதுவும் எண் நேர்மறை அல்லாதи எதிர்மறை அல்லாத. இது x≥0 மற்றும் x≤0 ஏற்றத்தாழ்வுகளை பூர்த்தி செய்கிறது. "ஏதோ நேர்மறை" என்ற முரண்பாடு "எதிர்மறையான ஒன்று" அல்ல, மாறாக "எதிர்மறையான ஒன்று அல்லது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமானது". கணிதவியலாளர்கள், மொழியின் விதிகளுக்கு மாறாக, எப்பொழுதும் எதையாவது "பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்" என்றும் "பூஜ்ஜியம்" அல்ல என்றும் கூறுவார்கள். இந்த நடைமுறையை நியாயப்படுத்த, நம்மிடம் உள்ளது: x = 0 "x is zero" என்ற சூத்திரத்தைப் படித்தால், x = 1 "x is equal to one" என்று வாசிக்கிறோம், அதை விழுங்கலாம், ஆனால் "x = 1534267" பற்றி என்ன? 0 என்ற எழுத்துக்கு எண் மதிப்பையும் நீங்கள் ஒதுக்க முடியாது⁰அல்லது பூஜ்ஜியத்தை எதிர்மறை சக்தியாக உயர்த்த வேண்டாம். மறுபுறம், நீங்கள் விரும்பியபடி பூஜ்ஜியத்தை ரூட் செய்யலாம் ... மற்றும் முடிவு எப்போதும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். 

அதிவேக செயல்பாடு y = a^x, a இன் நேர்மறை அடிப்படை, பூஜ்ஜியமாக மாறாது. பூஜ்ஜிய மடக்கை இல்லை என்பதை இது பின்பற்றுகிறது. உண்மையில், a முதல் அடிமட்ட b இன் மடக்கை என்பது a இன் மடக்கையைப் பெற அடித்தளத்தை உயர்த்த வேண்டிய அடுக்கு ஆகும். a = 0 க்கு, அத்தகைய காட்டி இல்லை, மேலும் பூஜ்ஜியம் மடக்கையின் அடிப்படையாக இருக்க முடியாது. இருப்பினும், நியூட்டனின் சின்னத்தின் "வகுப்பில்" உள்ள பூஜ்ஜியம் வேறு ஒன்று. இந்த மரபுகள் ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வழிவகுக்காது என்று நாங்கள் கருதுகிறோம்.

தவறான ஆதாரம்

பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல் என்பது தவறான சான்றுகளுக்கான பொதுவான பாடமாகும், மேலும் இது அனுபவம் வாய்ந்த கணிதவியலாளர்களுக்கு கூட நடக்கும். எனக்குப் பிடித்த இரண்டு உதாரணங்களைத் தருகிறேன். முதலாவது இயற்கணிதம். எல்லா எண்களும் சமம் என்பதை நான் "நிரூபிப்பேன்". சமமாக இல்லாத இரண்டு எண்கள் இருப்பதாக வைத்துக் கொள்வோம். எனவே, அவற்றில் ஒன்று மற்றொன்றை விட பெரியது, a > b. c என்பது அவற்றின் வித்தியாசம் என்று வைத்துக் கொள்வோம்

c \uXNUMXd a - b. எனவே நாம் a - b = c, எங்கிருந்து a = b + c.

பிந்தையவற்றின் இரு பகுதிகளையும் a - b ஆல் பெருக்குகிறோம்:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

நான் ak ஐ இடது பக்கமாக மொழிபெயர்க்கிறேன், நிச்சயமாக அடையாளத்தை மாற்றுவது எனக்கு நினைவிருக்கிறது:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

நான் பொதுவான காரணிகளை விலக்குகிறேன்:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

நான் பகிர்கிறேன், நான் விரும்பியது என்னிடம் உள்ளது:

a = b.

மற்றும் உண்மையில் கூட அந்நியன், ஏனெனில் நான் a > b என்று கருதினேன், மேலும் எனக்கு a = b கிடைத்தது. மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில் "ஏமாற்றுதல்" எளிதாக இருந்தால், கீழே உள்ள வடிவியல் ஆதாரத்தில் அது அவ்வளவு எளிதானது அல்ல. ட்ரேப்சாய்டு இல்லை என்பதை நான் நிரூபிப்பேன். பொதுவாக ட்ரேப்சாய்டு என்று அழைக்கப்படும் உருவம் இல்லை.

ஆனால் முதலில் ஒரு ட்ரேப்சாய்டு (கீழே உள்ள படத்தில் ஏபிசிடி) உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இது இரண்டு இணையான பக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது ("அடிப்படைகள்"). படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, இந்த தளங்களை நீட்டுவோம், இதனால் நாம் ஒரு இணையான வரைபடம் கிடைக்கும். அதன் மூலைவிட்டங்கள் ட்ரேப்சாய்டின் மற்ற மூலைவிட்டத்தை பகுதிகளாக பிரிக்கின்றன, அதன் நீளம் x, y, z என குறிப்பிடப்படுகிறது. படம் 1. தொடர்புடைய முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையிலிருந்து, நாம் விகிதாச்சாரத்தைப் பெறுகிறோம்:

நாம் எங்கே வரையறுக்கிறோம்:

ஓராஸ்

நாம் எங்கே வரையறுக்கிறோம்:

நட்சத்திரக் குறியீடுகளால் குறிக்கப்பட்ட சமத்துவத்தின் பக்கங்களைக் கழிக்கவும்:

 இரண்டு பக்கங்களையும் x - z ஆல் சுருக்கினால், நமக்குக் கிடைக்கும் – a/b = 1, அதாவது a + b = 0. ஆனால் a, b எண்கள் ட்ரேப்சாய்டின் தளங்களின் நீளம். அவற்றின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அவையும் பூஜ்ஜியமாகும். ட்ரேப்சாய்டு போன்ற உருவம் இருக்க முடியாது என்பதே இதன் பொருள்! செவ்வகங்கள், ரோம்பஸ்கள் மற்றும் சதுரங்களும் ட்ரெப்சாய்டுகள் என்பதால், அன்புள்ள வாசகரே, ரோம்பஸ்கள், செவ்வகங்கள் மற்றும் சதுரங்கள் எதுவும் இல்லை ...

அது போல

தகவல்களைப் பகிர்வது நான்கு அடிப்படைச் செயல்களில் மிகவும் சுவாரசியமானதும் சவாலானதும் ஆகும். இங்கே, முதன்முறையாக, முதிர்வயதில் மிகவும் பொதுவான ஒரு நிகழ்வை நாங்கள் சந்திக்கிறோம்: "பதிலை யூகிக்கவும், பின்னர் நீங்கள் சரியாக யூகித்தீர்களா என்று சரிபார்க்கவும்." இது மிகவும் பொருத்தமாக டேனியல் கே. டெனட்டால் வெளிப்படுத்தப்பட்டுள்ளது ("தவறுகளை எப்படி செய்வது?", ஹவ் இட் இஸ் - எ சயின்டிஃபிக் கைடு டு த யுனிவர்ஸ், சிஐஎஸ், வார்சா, 1997):

இந்த "யூகிக்கும்" முறை நம் வயதுவந்த வாழ்க்கையில் தலையிடாது - ஒருவேளை நாம் அதை முன்கூட்டியே கற்றுக்கொள்கிறோம் மற்றும் யூகிப்பது கடினம் அல்ல. கருத்தியல் ரீதியாக, அதே நிகழ்வு நிகழ்கிறது, எடுத்துக்காட்டாக, கணித (முழுமையான) தூண்டலில். அதே இடத்தில், நாங்கள் சூத்திரத்தை "யூகிக்கிறோம்" பின்னர் எங்கள் யூகம் சரியானதா என்று சரிபார்க்கவும். மாணவர்கள் எப்பொழுதும் கேட்கிறார்கள்: "எங்களுக்கு எப்படி முறை தெரியும்? அதை எப்படி வெளியே எடுக்க முடியும்?" மாணவர்கள் என்னிடம் இந்தக் கேள்வியைக் கேட்கும்போது, ​​அவர்களின் கேள்வியை நகைச்சுவையாக மாற்றுகிறேன்: "நான் ஒரு தொழில்முறை என்பதால் இதை நான் அறிவேன், ஏனென்றால் நான் தெரிந்து கொள்வதற்காக பணம் பெறுகிறேன்." பள்ளியில் மாணவர்கள் அதே பாணியில், இன்னும் தீவிரமாக மட்டுமே பதிலளிக்க முடியும்.

உடற்பயிற்சி. நாம் கூட்டல் மற்றும் எழுத்துப் பெருக்கத்தை மிகக் குறைந்த அலகிலும், வகுத்தல் அதிக அலகிலும் தொடங்குகிறோம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

இரண்டு யோசனைகளின் கலவை

கணித ஆசிரியர்கள் எப்பொழுதும் நாம் வயது வந்தோருக்கான பிரிவினை என்று அழைப்பது இரண்டு கருத்துரீதியாக வேறுபட்ட கருத்துக்களின் ஒன்றியம் என்று சுட்டிக்காட்டியுள்ளனர்: வீடுகள் i பிரித்தல்.

முதலாவது (வீடுகள்) ஆர்க்கிடைப் இருக்கும் பணிகளில் நிகழ்கிறது:

வகுத்தல்-வகுத்தல் இவை போன்ற பணிகள்:

? (1892 இல் கிராகோவில் வெளியிடப்பட்ட ஜூலியன் ஸ்கோசலேவிச்சின் கையேட்டில் இருந்து எடுக்கப்பட்ட இந்த சிக்கலின் அசல் பாணியை நாங்கள் தக்க வைத்துக் கொள்கிறோம் - złoty என்பது Rhenish złoty, XNUMX ஆம் நூற்றாண்டின் ஆரம்பம் வரை ஆஸ்ட்ரோ-ஹங்கேரிய பேரரசில் புழக்கத்தில் இருந்த நாணயம்).

இப்போது இரண்டு சிக்கல்களைக் கவனியுங்கள் போலந்து மொழியின் பழமையான கணித பாடநூல், தந்தை Tomasz Clos (1538). இது பிரிவா அல்லது கூபே? XNUMX ஆம் நூற்றாண்டில் பள்ளி குழந்தைகள் செய்ய வேண்டிய வழியை தீர்க்கவும்:

(Polish to Polish translation: ஒரு பீப்பாயில் ஒரு குவார்ட்டர் மற்றும் நான்கு பானைகள் உள்ளன. ஒரு பானை நான்கு குவார்ட்ஸ். ஒருவர் வர்த்தகத்திற்காக 20 zł க்கு 50 பீப்பாய்கள் மதுவை வாங்கினார். வரி மற்றும் வரி (எக்சைஸ்?) 8 zł இருக்கும். எவ்வளவு 8 zł சம்பாதிக்க ஒரு குவார்ட்டர் விற்கவா?)

விளையாட்டு, இயற்பியல், ஒற்றுமை

சில நேரங்களில் விளையாட்டுகளில் நீங்கள் எதையாவது பூஜ்ஜியத்தால் (இலக்கு விகிதம்) வகுக்க வேண்டும். சரி, நீதிபதிகள் அதை எப்படியாவது சமாளிக்கிறார்கள். இருப்பினும், சுருக்க இயற்கணிதத்தில் அவை நிகழ்ச்சி நிரலில் உள்ளன. பூஜ்ஜியமற்ற அளவுகள்அதன் சதுரம் பூஜ்யம். எளிமையாக கூட விளக்கலாம்.

ஒரு புள்ளியை (y, 0) விமானத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியுடன் (x, y) தொடர்புபடுத்தும் F செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள். எஃப் என்றால் என்ன², அதாவது, F இன் இரட்டைச் செயலா? பூஜ்ஜிய செயல்பாடு - ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் ஒரு படம் (0,0) உள்ளது.

இறுதியாக, பூஜ்ஜியமற்ற அளவுகள் சதுரம் 0 என்பது இயற்பியலாளர்களுக்கு கிட்டத்தட்ட தினசரி ரொட்டியாகும், மேலும் a + bε வடிவத்தின் எண்கள், இங்கு ε ≠ 0, ஆனால் ε² = 0, கணிதவியலாளர்கள் அழைக்கிறார்கள் இரட்டை எண்கள். அவை கணிதப் பகுப்பாய்வு மற்றும் வேறுபட்ட வடிவவியலில் நிகழ்கின்றன.

எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, குறைந்தபட்சம் பெயரில் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கப்பட்ட எண்கணிதத்தில் ஏதோ ஒன்று உள்ளது. இருந்து வருகிறது ஒற்றுமை. Z என்பது முழு எண்களின் தொகுப்பைக் குறிக்கலாம். Z தொகுப்பை p ஆல் வகுத்தால், ஒவ்வொரு எண்ணையும் (முழு எண்) வேறு சிலவற்றுடன் சமன் செய்கிறோம், அதாவது அவற்றின் வேறுபாடு வகுபடும். எனவே, 0, 1, 2, 3, 4 ஆகிய எண்களுடன் தொடர்புடைய ஐந்து வகையான எண்கள் இருக்கும்போது - 5 ஆல் வகுக்கும் போது சாத்தியமான மீதமுள்ளவை. சூத்திரம் இப்படி எழுதப்பட்டுள்ளது:

வித்தியாசம் பலவாக இருக்கும்போது mod.

= 2 க்கு, எங்களிடம் இரண்டு எண்கள் மட்டுமே உள்ளன: 0 மற்றும் 1. முழு எண்களை இரண்டு வகுப்புகளாகப் பிரிப்பது அவற்றை இரட்டை மற்றும் இரட்டைப்படையாகப் பிரிப்பதற்குச் சமம். இப்போது அதை மாற்றுவோம். வேறுபாடு எப்போதும் 1 ஆல் வகுபடும் (எந்த முழு எண்ணும் 1 ஆல் வகுபடும்). =0 எடுக்க முடியுமா? முயற்சிப்போம்: இரண்டு எண்களின் வேறுபாடு எப்போது பூஜ்ஜியத்தின் பெருக்கமாகும்? இந்த இரண்டு எண்களும் சமமாக இருக்கும்போது மட்டுமே. எனவே முழு எண்களின் தொகுப்பை பூஜ்ஜியத்தால் வகுப்பது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது, ஆனால் அது சுவாரஸ்யமாக இல்லை: எதுவும் நடக்காது. இருப்பினும், இது தொடக்கப் பள்ளியிலிருந்து அறியப்பட்ட அர்த்தத்தில் எண்களின் பிரிவு அல்ல என்பதை வலியுறுத்த வேண்டும்.

இத்தகைய செயல்கள் வெறுமனே தடைசெய்யப்பட்டுள்ளன, அதே போல் நீண்ட மற்றும் பரந்த கணிதம்.

அரிசி. 2. ஒப்பீட்டைப் பயன்படுத்தி எண்களை அடையாளம் காணுதல்

(மரம் 5 மற்றும் மரம் 2)